경우의 수 – 합의 법칙 – 고1 수학

합의 벅칙 - 고1수학 순열과 조합 개념 설명 및 대표유형 문제 풀이

📘 개념 이해: “합의 법칙”이란?

경우의 수를 세는 가장 기본적인 두 가지 원리 중 하나가 합의 법칙(Sum Rule)입니다.

합의 법칙은 어떤 사건이 일어나는 경우의 수가 여러 가지로 나뉘어지고, 이들이 동시에 일어나지 않을 때 사용됩니다.

즉, “사건 A가 일어나는 경우의 수”와 “사건 B가 일어나는 경우의 수”를 각각 구한 다음, 이 두 경우의 수를 더하여 “사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수”를 구하는 방법입니다.

일상생활에서 “또는(or)”, “이거나” 와 같은 표현이 사용될 때 합의 법칙을 떠올릴 수 있습니다.

🔑 합의 법칙:

두 사건 $A, B$가 동시에 일어나지 않을 때,

사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $m$가지이고,

사건 $B$가 일어나는 경우의 수가 $n$가지이면,

$$ (\text{사건 } A \text{ 또는 사건 } B\text{가 일어나는 경우의 수}) = m + n $$

예를 들어 설명: 주사위 한 개를 던질 때, 2 이하의 눈이 나오는 사건 A의 경우의 수는 {1, 2}로 2가지이고, 5 이상의 눈이 나오는 사건 B의 경우의 수는 {5, 6}으로 2가지입니다. 이때 사건 A와 사건 B는 동시에 일어날 수 없습니다. 따라서 2 이하 또는 5 이상의 눈이 나오는 경우의 수는 $2 + 2 = 4$가지입니다.

합의 법칙은 경우의 수의 개수를 정확히 해야 합니다.

쉬운 문제인데도, 틀리는 경우가 종종 생기는 파트입니다.

주사위 문제에서도 합의 법칙을 종종 사용하는데,

주사위에서 나올 수 있는 두 눈의 합은 최대 12입니다.

💡 문제 풀이 단계 (합의 법칙 적용)

사건을 명확히 구분:문제에서 요구하는 전체 사건을, 동시에 일어나지 않는 여러 개의 개별 사건들로 나눕니다. (예: “A인 경우”, “B인 경우”, “C인 경우” …)
각 개별 사건의 경우의 수 구하기:나누어진 각 개별 사건에 대해 경우의 수를 각각 계산합니다.
동시 발생 여부 확인:나누어진 개별 사건들이 정말로 동시에 일어나지 않는지 다시 한번 확인합니다. 만약 동시에 일어나는 경우가 있다면, 합의 법칙을 바로 적용할 수 없고, 포함-배제의 원리를 고려해야 합니다. (이 페이지에서는 동시에 일어나지 않는 경우를 다룹니다.)
경우의 수 더하기:2단계에서 구한 각 개별 사건의 경우의 수를 모두 더하여 전체 경우의 수를 구합니다.

✅ 예제 1: 주사위 눈의 합

문제: 서로 다른 두 개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 4 또는 6이 되는 경우의 수를 구하시오.

풀이 과정:

1. 사건 구분:

사건 1: 두 눈의 수의 합이 4가 되는 경우
사건 2: 두 눈의 수의 합이 6이 되는 경우

두 눈의 수의 합이 4이면서 동시에 6이 될 수는 없으므로, 두 사건은 동시에 일어나지 않습니다.

2. 각 사건의 경우의 수 구하기: (주사위 A의 눈, 주사위 B의 눈)

사건 1 (합이 4): $(1,3), (2,2), (3,1)$ $\implies$ 3가지

사건 2 (합이 6): $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ $\implies$ 5가지

3. 동시 발생 여부 확인: 확인 완료 (동시에 일어나지 않음)

4. 경우의 수 더하기:

$$ (\text{합이 4 또는 6인 경우의 수}) = (\text{합이 4인 경우의 수}) + (\text{합이 6인 경우의 수}) $$

$$ = 3 + 5 = 8 $$

답: 8가지

✅ 예제 2: 카드 뽑기

문제: 1부터 15까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 15장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 뽑은 카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 7의 배수인 경우의 수를 구하시오.

풀이 과정:

1. 사건 구분:

사건 A: 뽑은 카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우
사건 B: 뽑은 카드에 적힌 수가 7의 배수인 경우

1부터 15까지의 수 중에서 3의 배수이면서 동시에 7의 배수인 수는 없습니다 (최소공배수가 21이므로). 따라서 두 사건은 동시에 일어나지 않습니다.

2. 각 사건의 경우의 수 구하기:

사건 A (3의 배수): {3, 6, 9, 12, 15} $\implies$ 5가지

사건 B (7의 배수): {7, 14} $\implies$ 2가지

3. 동시 발생 여부 확인: 확인 완료 (동시에 일어나지 않음)

4. 경우의 수 더하기:

$$ (\text{3의 배수 또는 7의 배수인 경우의 수}) = (\text{3의 배수인 경우의 수}) + (\text{7의 배수인 경우의 수}) $$

$$ = 5 + 2 = 7 $$

답: 7가지

✅ 예제 3: 길 찾기

문제: A 지점에서 B 지점으로 가는 길이 3가지 있고, A 지점에서 C 지점으로 가는 길이 2가지 있다. B 지점에서 D 지점으로 가는 길은 없고, C 지점에서 D 지점으로 가는 길이 4가지 있다. A 지점에서 출발하여 B 또는 C 중 한 지점만을 거쳐 D 지점으로 가는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나지 않는다.)

풀이 과정:

1. 사건 구분:

사건 1: A $\to$ B $\to$ D 로 가는 경우
사건 2: A $\to$ C $\to$ D 로 가는 경우

문제 조건에서 B 또는 C 중 한 지점만을 거쳐 D로 간다고 했으므로, 두 사건은 동시에 일어날 수 없습니다. (즉, A $\to$ B $\to$ C $\to$ D 와 같은 경로는 고려하지 않습니다.)

2. 각 사건의 경우의 수 구하기:

사건 1 (A $\to$ B $\to$ D): A에서 B로 가는 길은 3가지. B에서 D로 가는 길은 없으므로, 이 경로로는 D에 도달할 수 없습니다. 따라서 경우의 수는 0가지입니다.

(문제에서 B에서 D로 가는 길이 없다고 명시했으므로, 이 사건의 경우의 수는 0입니다. 곱의 법칙을 적용하면 $3 \times 0 = 0$ 입니다.)

사건 2 (A $\to$ C $\to$ D): A에서 C로 가는 길은 2가지. C에서 D로 가는 길은 4가지.

A에서 C를 거쳐 D로 가는 각 단계는 연이어 일어나므로 곱의 법칙을 사용합니다.

$\implies$ A $\to$ C $\to$ D 로 가는 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$가지

3. 동시 발생 여부 확인: 확인 완료 (동시에 일어나지 않음)

4. 경우의 수 더하기:

$$ (\text{A에서 B 또는 C를 거쳐 D로 가는 경우의 수}) = (\text{A}\to\text{B}\to\text{D 경우의 수}) + (\text{A}\to\text{C}\to\text{D 경우의 수}) $$

$$ = 0 + 8 = 8 $$

답: 8가지

💡 마무리 정리 및 주의사항:

합의 법칙은 사건들이 “또는(or)”의 관계로 연결되고, 이 사건들이 동시에 일어나지 않을 때 사용합니다.
문제를 읽고, 전체 상황을 몇 개의 배타적인(서로 겹치지 않는) 경우로 분류하는 것이 합의 법칙 적용의 첫걸음입니다.
분류된 각 경우의 수를 정확히 세는 것이 중요합니다. 이 과정에서 순열, 조합 또는 또 다른 합의 법칙/곱의 법칙이 사용될 수 있습니다.
만약 나누어진 사건들 사이에 공통으로 일어나는 부분(교집합)이 있다면, 단순한 덧셈만으로는 올바른 경우의 수를 구할 수 없습니다. 이때는 포함-배제의 원리 ($n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$)를 사용해야 합니다.

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