사인법칙 – 각과 변의 관계 – 고2 수학 개념 및 대표 유형 문제 풀이

📘 개념 이해: “사인법칙”이란?

삼각형에서 각의 크기와 마주보는 변의 길이 사이에는 일정한 관계가 성립하는데, 이를 사인법칙(Sine Rule)이라고 합니다.

사인법칙은 삼각형의 각 요소(세 각, 세 변, 외접원의 반지름)들 사이의 관계를 나타내는 중요한 정리입니다.

특히, 삼각형의 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알거나, 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기를 알 때, 나머지 변의 길이나 각의 크기를 구하는 데 유용하게 사용됩니다.

사인법칙은 다음과 같은 경우에 주로 활용됩니다:

• (1) 한 변의 길이와 양 끝 각(또는 두 각)의 크기를 알 때:

  나머지 변들의 길이를 구할 수 있습니다. (세 각의 합은 180°이므로 두 각을 알면 나머지 한 각도 알 수 있습니다.)

• (2) 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기를 알 때:

  다른 각의 크기를 구할 수 있습니다. (단, 이때 각이 두 개 존재할 수도 있음에 유의해야 합니다.)

이 페이지에서는 주로 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 관계를 이용하여 각과 변 사이의 관계를 다룹니다.

💡 문제 풀이 단계 (사인법칙 이용)

1. 주어진 조건 확인:문제에서 주어진 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 정확히 파악합니다. (예: 변 \(a\), 각 \(A\), 각 \(B\) 등)
2. 구하려는 값 설정:문제에서 무엇을 구해야 하는지 명확히 합니다. (예: 변 \(b\)의 길이, 각 \(C\)의 크기 등)
3. 사인법칙 적용:알고 있는 값들과 구하려는 값을 포함하는 사인법칙의 일부를 선택하여 식을 세웁니다.
   예: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\) 또는 \(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 등.
4. 방정식 풀기:세운 식에 알고 있는 값들을 대입하고, 미지수에 대해 방정식을 풉니다. 삼각비 값(특수각의 사인 값 등)을 정확히 계산해야 합니다.
5. (필요시) 각의 크기 결정:만약 \(\sin X = k\) 형태로 값이 나왔다면, 이를 만족하는 각 \(X\)를 찾습니다. 삼각형의 내각은 \(0^\circ < X < 180^\circ\) 범위에 있으며, 문제의 조건(예각, 둔각 등)을 고려하여 각을 결정합니다.

✅ 예제 1: 한 변과 두 각을 알 때 다른 변의 길이 구하기

문제: \(\triangle ABC\)에서 \(A=45^\circ, B=60^\circ, a=6\)일 때, 변 \(b\)의 길이를 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 조건 확인: \(A=45^\circ, B=60^\circ, a=6\)

2. 구하려는 값 설정: 변 \(b\)의 길이

3. 사인법칙 적용:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$

4. 방정식 풀기:

$$ \frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} $$

여기서 \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 대입하면,

$$ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

$$ 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \implies 6\sqrt{2} = \frac{2b}{\sqrt{3}} $$

$$ 2b = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6} $$

$$ b = 3\sqrt{6} $$

답: \(b = 3\sqrt{6}\)

✅ 예제 2: 두 변과 한 각(끼인각 아님)을 알 때 다른 각의 크기 구하기

문제: \(\triangle ABC\)에서 \(a=2\sqrt{2}, b=2, A=135^\circ\)일 때, 각 \(B\)의 크기를 구하시오. (단, \(B\)는 예각이다.)

풀이 과정:

1. 주어진 조건 확인: \(a=2\sqrt{2}, b=2, A=135^\circ\)

2. 구하려는 값 설정: 각 \(B\)의 크기

3. 사인법칙 적용:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$

4. 방정식 풀기:

\(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ – 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)이므로,

$$ \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin B} $$

$$ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sin B} $$

$$ 4 = \frac{2}{\sin B} $$

$$ 4 \sin B = 2 \implies \sin B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

5. 각의 크기 결정:

\(\sin B = \frac{1}{2}\)이고, \(B\)는 예각(\(0^\circ < B < 90^\circ\))이므로,

$$ B = 30^\circ $$

답: \(B = 30^\circ\)

✅ 예제 3: 유사한 조건에서 다른 각 구하기

문제: \(\triangle ABC\)에서 \(b=4, c=4\sqrt{3}, B=30^\circ\)일 때, 각 \(C\)의 크기를 구하시오. (단, \(C\)는 예각이다.)

풀이 과정:

1. 주어진 조건 확인: \(b=4, c=4\sqrt{3}, B=30^\circ\)

2. 구하려는 값 설정: 각 \(C\)의 크기

3. 사인법칙 적용:

$$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

4. 방정식 풀기:

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)이므로,

$$ \frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$

$$ 4 \cdot 2 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$

$$ 8 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$

$$ 8 \sin C = 4\sqrt{3} \implies \sin C = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

5. 각의 크기 결정:

\(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이고, \(C\)는 예각(\(0^\circ < C < 90^\circ\))이므로,

$$ C = 60^\circ $$

답: \(C = 60^\circ\)