이차함수 찾기 (이차함수의 뜻) – 중3 수학 – 이차항의 계수가 0이 아님

이차함수 찾기 - 이차함수의 뜻 -중3 수학 개념 및 대표 유형 문제 풀이

📘 개념 이해: “이차함수”란 무엇일까요?

함수 $y=f(x)$에서 $y$가 $x$에 대한 이차식으로 표현될 때, 이 함수를 $x$에 대한 이차함수라고 합니다.

일반적으로 이차함수는 다음과 같은 꼴로 나타냅니다:

$$ y = ax^2 + bx + c $$

여기서 $a, b, c$는 상수이며, 가장 중요한 조건은 이차항의 계수 $a$가 0이 아니어야 한다는 것입니다 ($a \neq 0$).

만약 $a=0$이라면 $x^2$ 항이 사라지므로 이차함수가 아니라 일차함수($b \neq 0$일 때) 또는 상수함수($b=0$일 때)가 됩니다.

🔑 이차함수가 되기 위한 핵심 조건:

$y$가 $x$에 대한 식으로 표현되어야 합니다. ($y = f(x)$ 꼴)
우변 $f(x)$가 $x$에 대한 이차식이어야 합니다.
- 즉, $ax^2 + bx + c$ 형태로 정리될 수 있어야 합니다.
이차항($x^2$)의 계수 $a$는 절대로 0이 될 수 없습니다 ($a \neq 0$).

예시: $y = 3x^2 – 2x + 1$은 이차함수입니다. ($a=3, b=-2, c=1$이고 $a \neq 0$)

예시 (오답): $y = 0x^2 + 4x – 7 \implies y = 4x – 7$은 이차항의 계수가 0이므로 일차함수입니다.

💡 이차함수 판별 단계

식 정리하기:주어진 함수식을 $y = (\text{x에 대한 식})$ 꼴로 정리합니다. 만약 식이 복잡하게 얽혀 있다면, 괄호를 풀고 동류항끼리 계산하여 간단히 합니다.
최고차항 확인:정리된 식의 우변에서 $x$에 대한 최고차항의 차수를 확인합니다. 이차함수가 되려면 최고차항이 $x^2$이어야 합니다.
이차항 계수($a$) 확인:최고차항이 $x^2$이라면, 그 계수($a$)가 0이 아닌지 반드시 확인합니다. $a \neq 0$ 조건을 만족해야 이차함수입니다.
다항식 여부 판단:우변이 다항식인지 확인합니다. 분모에 $x$가 있거나 (예: $y = \frac{1}{x^2}$), $x$가 근호 안에 있는 경우 (예: $y = \sqrt{x}$)는 다항함수가 아니므로 이차함수가 될 수 없습니다.

✅ 예제 1: 기본 형태 판별하기

문제: 다음 중 $x$에 대한 이차함수인 것을 고르시오.

(1) $y = x^3 – 2x^2 + 1$

(2) $y = -x^2 + 5x$

(3) $y = 7x – 3$

(4) $y = \frac{2}{x} + x^2$

(5) $y = 9$

풀이 과정:

(1) $y = x^3 – 2x^2 + 1$: $x$에 대한 최고차항이 $x^3$이므로 삼차함수입니다.

(2) $y = -x^2 + 5x$: $y$가 $x$에 대한 이차식($ax^2+bx+c$) 꼴이고, $x^2$의 계수가 $-1 (\neq 0)$이므로 이차함수입니다.

(3) $y = 7x – 3$: $x$에 대한 최고차항이 $x$이므로 일차함수입니다.

(4) $y = \frac{2}{x} + x^2$: $\frac{2}{x}$ 항 때문에 다항함수가 아닙니다. (분수함수 포함)

(5) $y = 9$: $x$ 항이 없는 상수함수입니다.

답: (2)

✅ 예제 2: 식을 정리한 후 판별하기

문제: 다음 중 $x$에 대한 이차함수인 것을 고르시오.

(1) $y = x(x-3) – x^2$

(2) $y = (2x+1)^2 – 3x^2$

(3) $y = \frac{x^2-4}{x-2}$ (단, $x \neq 2$)

(4) $y = 5x^2 – (5x^2 – x)$

풀이 과정:

(1) $y = x(x-3) – x^2 = x^2 – 3x – x^2 = -3x$. $x^2$ 항이 소거되므로 일차함수입니다.

(2) $y = (2x+1)^2 – 3x^2 = (4x^2 + 4x + 1) – 3x^2 = x^2 + 4x + 1$. $x^2$의 계수가 $1 (\neq 0)$이므로 이차함수입니다.

(3) $y = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. 약분 후 정리하면 일차함수입니다.

(4) $y = 5x^2 – (5x^2 – x) = 5x^2 – 5x^2 + x = x$. $x^2$ 항이 소거되므로 일차함수입니다.

답: (2)

✅ 예제 3: 다양한 형태의 함수 판별

문제: 다음 보기에서 $y$가 $x$에 대한 이차함수인 것을 모두 고른 것은?

보기

(ㄱ) $y = \pi x^2$ (단, $\pi$는 원주율)

(ㄴ) $y = (x-1)(x+1) – (x^2+x)$

(ㄷ) $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$

(ㄹ) 직사각형의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x+3$일 때 넓이 $y$

풀이 과정:

(ㄱ) $y = \pi x^2$: $x^2$의 계수가 $\pi (\neq 0)$이므로 이차함수입니다. ($\pi$는 상수)

(ㄴ) $y = (x-1)(x+1) – (x^2+x) = (x^2-1) – x^2 – x = -x-1$. $x^2$ 항이 소거되므로 일차함수입니다.

(ㄷ) $y = x^2 + \frac{1}{x^2}$: $\frac{1}{x^2}$ 항 때문에 다항함수가 아닙니다.

(ㄹ) 직사각형의 넓이 $y = \text{가로} \times \text{세로} = x(x+3) = x^2 + 3x$. $x^2$의 계수가 $1 (\neq 0)$이므로 이차함수입니다.

답: (ㄱ), (ㄹ)

💡 마무리 정리 및 주의사항:

이차함수를 판별할 때는 반드시 주어진 식을 $y = ax^2 + bx + c$ 꼴로 간단히 정리한 후 판단해야 합니다.
가장 중요한 것은 이차항($x^2$)이 존재하고, 그 계수($a$)가 0이 아니어야 한다는 점입니다.
단순히 $x^2$ 항이 눈에 보인다고 해서 무조건 이차함수인 것은 아닙니다. 전개 및 동류항 정리 과정에서 이차항이 소거될 수 있음에 항상 유의해야 합니다.
$y$가 $x$에 대한 다항식으로 표현되지 않는 경우(예: 분모에 $x$가 있는 분수식, $x$가 루트 안에 있는 무리식 등)는 이차함수가 될 수 없습니다.

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