한 근이 문자로 주어질 때 분수형 식의 값 구하기 – 곰쌤수학 – 중3 이차방정식 개념 및 유형 문제 풀이

한 근이 문자로 주어질 때 분수형 식의 값 구하기 - 곰쌤수학 중3 수학 인강 풀이

Table of Contents

📘 개념 이해: “한 근이 문자로 주어질 때 분수형 식의 값”이란?

이차방정식의 한 근이 특정 문자(예: $\alpha, k$)로 주어졌을 때, 이 문자를 포함하는 분수 형태의 식(예: $k + \frac{1}{k}$, $k^2 + \frac{1}{k^2}$)의 값을 구하는 유형의 문제입니다.

이 문제 해결의 핵심은 “근은 방정식을 만족시킨다”는 기본 원리를 이용하고, 식을 적절히 변형하는 것입니다.

특히, $x^2$의 계수가 1이고 상수항이 0이 아닌 특정 값(예: 1 또는 -1)인 이차방정식 $x^2 + ax \pm 1 = 0$의 한 근이 $k$일 때, $k \neq 0$이므로 양변을 $k$로 나누어 $k + \frac{1}{k}$ 또는 $k – \frac{1}{k}$ 형태의 값을 쉽게 유도할 수 있습니다. (만약 $k=0$이라면 $0^2 + a \cdot 0 \pm 1 = 0 \implies \pm 1 = 0$이 되어 모순이므로 $k \neq 0$입니다.)

🔑 핵심 원칙:

이차방정식 $x^2 + ax + 1 = 0$의 한 근이 $k$라면 ($k \neq 0$),

$x=k$를 $x^2 + ax + 1 = 0$에 대입하면 $k^2 + ak + 1 = 0$이 성립합니다.

양변을 $k$로 나누면 ($k \neq 0$이므로 가능):

$$ \frac{k^2}{k} + \frac{ak}{k} + \frac{1}{k} = \frac{0}{k} $$

$$ k + a + \frac{1}{k} = 0 $$

$$ \therefore k + \frac{1}{k} = -a $$

유사하게, 이차방정식 $x^2 + ax – 1 = 0$의 한 근이 $k$라면 ($k \neq 0$),

$k^2 + ak – 1 = 0 \implies k + a – \frac{1}{k} = 0 \implies k – \frac{1}{k} = -a $

✨ 곱셈 공식의 변형 (자주 사용됨):

$ \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \left(\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2 $
$ \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \left(\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 – 2 + \frac{1}{a^2} \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2 $
$ \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 4 $
$ \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 $

💡 문제 풀이 단계

주어진 근(문자)을 방정식에 대입:이차방정식의 $x$ 자리에 주어진 근(문자, 예: $\alpha$)을 대입하여 등식을 만듭니다. (예: $\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0$)
양변을 근(문자)으로 나누기:근이 0이 아님을 확인하고 (보통 상수항이 0이 아니면 근은 0이 아님), 1단계에서 얻은 등식의 양변을 근(문자)으로 나누어 $\alpha + \frac{1}{\alpha}$ 또는 $\alpha – \frac{1}{\alpha}$ 형태의 값을 구합니다.
곱셈 공식 변형 활용 (필요시):만약 문제에서 $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ 또는 $(\alpha – \frac{1}{\alpha})^2$ 등 다른 형태의 식의 값을 요구하면, 2단계에서 구한 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하여 값을 구합니다.
식의 값 계산:최종적으로 식의 값을 계산합니다.

✅ 예제 1: $k + \frac{1}{k}$ 값 구하기

문제: 이차방정식 $x^2 – 5x + 1 = 0$의 한 근이 $\alpha$일 때, $\alpha + \frac{1}{\alpha}$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 근을 방정식에 대입:

$\alpha$가 $x^2 – 5x + 1 = 0$의 근이므로 대입하면,

$$ \alpha^2 – 5\alpha + 1 = 0 $$

2. 양변을 근으로 나누기:

상수항이 1이므로 $\alpha \neq 0$입니다. 양변을 $\alpha$로 나누면,

$$ \frac{\alpha^2}{\alpha} – \frac{5\alpha}{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \frac{0}{\alpha} $$

$$ \alpha – 5 + \frac{1}{\alpha} = 0 $$

$$ \alpha + \frac{1}{\alpha} = 5 $$

답: $5$

✅ 예제 2: $k^2 + \frac{1}{k^2}$ 값 구하기 ( $k-\frac{1}{k}$ 이용 )

문제: 이차방정식 $x^2 + 3x – 1 = 0$의 한 근이 $\beta$일 때, $\beta^2 + \frac{1}{\beta^2}$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 근을 방정식에 대입:

$\beta$가 $x^2 + 3x – 1 = 0$의 근이므로 대입하면,

$$ \beta^2 + 3\beta – 1 = 0 $$

2. 양변을 근으로 나누기:

상수항이 -1이므로 $\beta \neq 0$입니다. 양변을 $\beta$로 나누면,

$$ \beta + 3 – \frac{1}{\beta} = 0 $$

$$ \beta – \frac{1}{\beta} = -3 $$

3. 곱셈 공식 변형 활용:

구하고자 하는 값은 $\beta^2 + \frac{1}{\beta^2}$입니다. 곱셈 공식 변형 $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a – \frac{1}{a})^2 + 2$를 이용합니다.

$$ \beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = \left(\beta – \frac{1}{\beta}\right)^2 + 2 $$

여기에 $\beta – \frac{1}{\beta} = -3$을 대입하면,

$$ \beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = (-3)^2 + 2 $$

4. 식의 값 계산:

$$ 9 + 2 = 11 $$

답: $11$

✅ 예제 3: $(k – \frac{1}{k})^2$ 값 구하기 ( $k+\frac{1}{k}$ 이용 )

문제: 이차방정식 $x^2 + 4x + 1 = 0$의 한 근이 $\gamma$일 때, $\left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 근을 방정식에 대입:

$\gamma$가 $x^2 + 4x + 1 = 0$의 근이므로 대입하면,

$$ \gamma^2 + 4\gamma + 1 = 0 $$

2. 양변을 근으로 나누기:

상수항이 1이므로 $\gamma \neq 0$입니다. 양변을 $\gamma$로 나누면,

$$ \gamma + 4 + \frac{1}{\gamma} = 0 $$

$$ \gamma + \frac{1}{\gamma} = -4 $$

3. 곱셈 공식 변형 활용:

구하고자 하는 값은 $\left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2$입니다. 곱셈 공식 변형 $(a – \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 – 4$를 이용합니다.

$$ \left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2 = \left(\gamma + \frac{1}{\gamma}\right)^2 – 4 $$

여기에 $\gamma + \frac{1}{\gamma} = -4$를 대입하면,

$$ \left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2 = (-4)^2 – 4 $$

4. 식의 값 계산:

$$ 16 – 4 = 12 $$

답: $12$

💡 마무리 정리:

이차방정식 $x^2+ax \pm 1=0$ (또는 양변을 $x^2$의 계수로 나누어 이런 꼴로 만들 수 있는 경우)의 한 근이 $k$일 때, $k \neq 0$이므로 양변을 $k$로 나누어 $k \pm \frac{1}{k}$의 값을 구하는 것이 핵심입니다.
$k + \frac{1}{k}$ 또는 $k – \frac{1}{k}$의 값을 알고 있다면, 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $k^2 + \frac{1}{k^2}$, $\left(k – \frac{1}{k}\right)^2$, $\left(k + \frac{1}{k}\right)^2$ 등의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
실제로 근 $k$의 값을 구하려고 하기보다는, 식의 관계를 이용하여 값을 찾는 것이 더 효율적인 경우가 많습니다.
만약 이차방정식이 $mx^2 + nx + m = 0$ ($m \neq 0$) 꼴이라면, 양변을 $m$으로 나누어 $x^2 + \frac{n}{m}x + 1 = 0$ 꼴로 변형한 후 동일한 방법을 적용할 수 있습니다.

곰쌤의 스토리 블로그

studygom