다각형 순열
실제 세상의 탁자가 모두 완벽한 원 모양은 아니겠죠? 직사각형, 정사각형, 정삼각형처럼 다양한 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 어떻게 계산해야 할까요? 이를 ‘다각형 순열’ 또는 ‘탁자 순열’이라고 부릅니다.
많은 교재에서 `(원순열의 수) × (회전 시 겹치지 않는 자리의 수)` 라는 공식을 제시하지만, 왜 이런 공식이 나왔는지 이해하지 못하면 조금만 다른 모양이 나와도 금방 혼란에 빠지게 됩니다. 오늘은 이 공식의 의미를 근본적인 원리부터 파헤치고, 어떤 모양의 탁자가 나와도 자신 있게 풀 수 있는 두 가지 핵심 전략을 상세한 설명과 함께 알려드리겠습니다.
이 글 하나로 다각형 순열에 대한 모든 두려움을 없애드리겠습니다!
다각형 순열은 순수한 원순열과 직선 순열의 특징을 모두 가진 ‘하이브리드’ 개념입니다. 원탁처럼 회전하면 같아지는 경우가 있지만, 직선 배열처럼 모든 자리가 동등하지는 않기 때문입니다.
핵심은 이것입니다: “첫 번째 사람이 어느 자리에 앉느냐에 따라 완전히 다른 경우가 생길 수 있다.”
예를 들어, 문제에 제시된 직사각형 탁자를 봅시다. 이 탁자에는 6개의 자리가 있습니다. 과연 이 6개의 자리는 모두 같은 가치를 가질까요? 그렇지 않습니다. 내가 어느 자리에 앉느냐에 따라 보이는 풍경(상대적인 위치 관계)이 달라집니다.
이제 탁자를 180도 회전시켜 봅시다.
결론적으로, 이 직사각형 탁자에는 회전을 고려했을 때 서로 다른 종류의 자리가 3가지 (1번, 2번, 3번) 있다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 바로 다각형 순열 문제 해결의 첫 단추입니다.
가장 빠르고 직관적인 풀이법입니다. 위에서 찾은 ‘서로 다른 자리의 수’를 원순열 공식에 곱해주는 방식입니다.
만약 이 탁자가 완벽한 원형이었다고 가정하고, 6명을 앉히는 원순열의 수를 계산합니다.
$$ (6-1)! = 5! = 120 \text{가지} $$
위의 개념 설명에서 확인했듯이, 이 직사각형 탁자에는 회전했을 때 겹쳐지지 않는 서로 다른 종류의 자리가 총 3가지 있습니다.
원순열의 수에 서로 다른 자리의 수를 곱하여 최종 답을 구합니다.
$$ (\text{원순열의 수}) \times (\text{다른 자리의 수}) = 120 \times 3 = 360 \text{가지} $$
이 방법은 매우 빠르지만, ‘다른 자리의 수’를 정확하게 세는 것이 관건입니다.
이 방법은 공식의 원리를 파고드는, 더 근본적인 풀이법입니다. 모든 다각형 순열에 적용할 수 있는 만능 열쇠와 같습니다.
우선 회전은 없다고 생각하고, 6개의 서로 다른 자리에 6명을 배열하는 경우의 수를 구합니다. 즉, 일반적인 순열입니다.
$$ 6! = 720 \text{가지} $$
이제 이 탁자를 회전시켰을 때 몇 번이나 자기 자신과 똑같이 겹쳐지는지(대칭성)를 찾습니다. 이 횟수가 바로 중복되는 경우의 수가 됩니다.
따라서 이 직사각형 탁자는 회전시켰을 때 총 2번 겹쳐집니다. 즉, 하나의 배열이 2번씩 중복되어 계산된 것입니다.
Step 1에서 구한 전체 직선 순열의 수를 Step 2에서 구한 회전 대칭성(중복 횟수)으로 나누어 줍니다.
$$ \frac{\text{전체 순열의 수}}{\text{회전 대칭성}} = \frac{6!}{2} = \frac{720}{2} = 360 \text{가지} $$
역시 정확히 같은 결과가 나옵니다! 이 방법은 ‘다른 자리’를 세는 실수를 줄여주고, 더 복잡한 도형에도 일관되게 적용할 수 있는 장점이 있습니다.
오늘은 원순열의 응용 버전인 다각형 탁자 순열에 대해 알아보았습니다. 핵심은 더 이상 모든 자리가 동등하지 않다는 것을 인지하는 것입니다.
(n-1)! × (다른 자리의 수). ‘다른 자리’의 개수만 정확히 셀 수 있다면 가장 효율적입니다.n! ÷ (회전 대칭성). 도형의 회전 대칭성을 파악하여 전체 순열에서 중복을 제거하는 원리적인 방법으로, 더 안정적이고 모든 도형에 적용 가능합니다.예를 들어, 정삼각형 탁자(각 변에 2명씩, 총 6명)라면 ‘다른 자리’는 2개(모서리, 가운데), 회전 대칭성은 3번이므로, $ (6-1)! \times 2 = 240 $ 또는 $ 6! \div 3 = 240 $ 으로 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 두 가지 방법을 모두 익혀두고, 문제 상황에 맞게 더 편리한 전략을 선택하는 지혜를 기르시길 바랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!
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