수열의 수렴과 발산 - 1. 고등학교 미적분
미적분의 가장 기초가 되는 개념 중 하나가 바로 ‘수열의 극한’입니다.
어떤 수열이 끝없이 나아갈 때 어디로 향하는지 알아보는 것인데요, 오늘은 수열의 수렴과 발산이 무엇인지 개념을 확실히 잡고, 대표 문제를 통해 수렴하는 수열을 판정하는 방법을 속 시원하게 알려드리겠습니다.
수열의 극한을 판정하기 전에, ‘수렴’과 ‘발산’이라는 용어의 뜻을 정확히 알아야 합니다.
수열이 수렴하지 않는 모든 경우를 발산한다고 합니다. 발산에는 세 가지 종류가 있습니다.
이제 아래 대표 문제를 통해 어떤 수열이 수렴하는지 직접 판정해 봅시다.
보기
ㄱ. $-1, -2, -4, -8, -16, \dots, -2^{n-1}, \dots$
ㄴ. $-2, 1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, -\frac{2}{5}, \dots, \frac{(-1)^n \times 2}{n}, \dots$
ㄷ. $1, 1, 1, 1, 1, \dots, 1, \dots$
ㄹ. $\{(-1)^n\}$
ㅁ. $\{3 – \frac{(-1)^n}{n}\}$
일반항 $a_n = -2^{n-1}$ 입니다. $n$이 $1, 2, 3, 4, \dots$ 로 한없이 커질 때, $a_n$의 값은 $-1, -2, -4, -8, \dots$ 와 같이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커집니다.
$$ \lim_{n \to \infty} (-2^{n-1}) = -\infty $$
일반항 $a_n = \frac{(-1)^n \times 2}{n}$ 입니다. $n$이 한없이 커지면 분모 $n$은 무한히 커집니다. 분자 $(-1)^n \times 2$는 $-2, 2, -2, 2, \dots$ 로 진동하지만, 그 크기는 2를 넘지 않습니다. ‘무한대로 커지는 분모’와 ‘일정한 범위에서 진동하는 분자’의 조합이므로, 전체 값은 0에 가까워집니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n \times 2}{n} = 0 $$
일반항 $a_n = 1$ 입니다. 이 수열은 모든 항이 1인 상수수열입니다. $n$이 아무리 커져도 항의 값은 항상 1입니다.
$$ \lim_{n \to \infty} 1 = 1 $$
일반항 $a_n = (-1)^n$ 입니다. 수열의 항을 나열해 보면 $-1, 1, -1, 1, -1, \dots$ 입니다. $n$이 한없이 커져도 항의 값은 -1과 1 사이를 계속 왕복할 뿐, 하나의 값에 가까워지지 않습니다. 이것이 대표적인 ‘진동’ 발산입니다.
일반항 $a_n = 3 – \frac{(-1)^n}{n}$ 입니다. 극한의 성질에 따라 각 부분의 극한을 따로 생각할 수 있습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \left(3 – \frac{(-1)^n}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} 3 – \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} $$
여기서 $\lim_{n \to \infty} 3 = 3$ 이고, 보기 (ㄴ)과 비슷한 원리로 $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$ 입니다.
$$ 3 – 0 = 3 $$
각 보기의 수렴/발산 여부를 정리하면 다음과 같습니다.
따라서 문제에서 요구한 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ, ㅁ 입니다.
수열의 극한을 판정하는 것은 결국 $n$을 무한대로 보냈을 때 일반항이 어떻게 변하는지 관찰하는 것입니다.
오늘 풀어본 문제처럼 다양한 형태의 수열을 접하며 극한에 대한 감각을 키우는 것이 중요합니다. 꾸준한 연습으로 극한 개념을 완벽하게 정복하시길 바랍니다!
함수의 극한값의 존재를 이해하려면 먼저 \(x\)가 어떤 값 \(a\)에 가까워진다는 말의 의미를 알아야 합니다. \(x=a\)가…
한국사 첫 단원인데 벌써 숫자에서 흔들린 적 있나요? 이 글 하나면 ‘구석기 시대는 언제 시작됐는지’가…
이 포스팅은 네이버 쇼핑 커넥트 활동의 일환으로, 링크를 통해 판매가 발생하면 수수료를 제공받습니다. 현재 이…