안녕하세요! 고등학교 수학의 첫걸음을 떼는 학생 여러분! ‘다항식의 연산’은 앞으로 배우게 될 모든 수학 분야의 기초 체력이 되는 매우 중요한 단원입니다.
특히 다항식의 덧셈과 뺄셈은 간단해 보이지만, 식이 조금만 복잡해져도 부호를 헷갈리거나 동류항을 놓치는 등 사소한 계산 실수가 가장 많이 발생하는 부분이기도 합니다.
많은 학생이 복잡한 다항식 A, B, C를 보자마자 문제에 주어진 식에 그대로 대입하려는 실수를 저지릅니다. 하지만 이런 방법은 계산 과정을 불필요하게 길고 복잡하게 만들어 실수를 유발하는 지름길입니다. 오늘은 다항식 연산의 정확도와 속도를 비약적으로 향상시키는 2단계 핵심 해결 전략을 600단어 이상의 상세한 설명과 함께 완벽하게 마스터해보겠습니다. 이 글을 통해 다항식 계산에 대한 자신감을 되찾으시길 바랍니다!
🎯 핵심 전략: “먼저 간단히, 나중에 대입”
다항식 연산 문제의 핵심은 단 하나입니다. 복잡한 식 덩어리들을 처음부터 대입하여 ‘계산의 늪’에 빠지지 말고, 구해야 하는 최종 식을 최대한 가볍게 만든 후 마지막에 딱 한 번만 대입하는 것입니다. 이것이 바로 “선(先)정리, 후(後)대입” 원칙입니다.
⭐ 계산 실수를 막는 2단계 전략
-
- 1단계: 구하려는 식 간단히 정리하기
문제에서 계산하라고 요구하는 식 (예: $3A – 2(2A – B) + C$)을 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 모두 풀고, $A$, $B$, $C$에 대한 동류항끼리 모아 최대한 간단한 형태로 만듭니다. 이 과정에서 음수 부호를 분배할 때 특히 주의해야 합니다.
- 1단계: 구하려는 식 간단히 정리하기
- 2단계: 정리된 식에 다항식 대입하기
1단계에서 완벽하게 정리된 간단한 식에 주어진 다항식 A, B, C를 대입합니다. 이로써 복잡한 괄호 계산을 여러 번 할 필요 없이, 깔끔하게 정리된 상태에서 덧셈과 뺄셈만 수행하면 됩니다. 이때 대입하는 다항식 전체에 괄호를 씌워주는 습관은 부호 실수를 막는 최고의 안전장치입니다.
이 전략의 위력은 식이 복잡할수록 더욱 강력해집니다. 계산의 양을 줄여 시간도 절약하고, 과정이 단순해져 실수의 가능성도 획기적으로 낮출 수 있습니다.
✏️ 실력 다지기: 문제 풀이로 전략 적용하기
문제: 세 다항식 $A=3x^2-2xy+4y^2$, $B=5x^2-3xy+y^2$, $C=-2x^2-5y^2$에 대하여 $3A-2(2A-B)+C$를 계산하면?
이제 위에서 배운 2단계 전략을 적용하여 이 문제를 체계적으로 풀어보겠습니다.
Step 1: 구하려는 식 간단히 정리하기
A, B, C를 대입하기 전에, $3A-2(2A-B)+C$ 라는 식 자체를 먼저 간단하게 만들어 보겠습니다. 분배법칙을 이용해 괄호를 푸는 것이 첫 번째입니다.
$$ 3A – 2(2A – B) + C = 3A – (2 \times 2A) – (2 \times -B) + C $$
$$ = 3A – 4A + 2B + C $$
이제 A, B, C에 대한 동류항끼리 계산합니다. 여기서는 $3A$와 $-4A$가 동류항입니다.
$$ (3A – 4A) + 2B + C = \color{red}{-A + 2B + C} $$
이제 우리가 진짜 계산해야 할 식은 복잡했던 처음의 식이 아니라, 매우 간단해진 $-A + 2B + C$ 입니다.
Step 2: 정리된 식에 다항식 대입 및 계산하기
이제 1단계에서 구한 간단한 식 $-A + 2B + C$에 문제에서 주어진 다항식들을 대입합니다. 이때, 반드시 괄호를 사용하여 각 다항식을 통째로 넣어줍니다.
$$ -(3x^2-2xy+4y^2) + 2(5x^2-3xy+y^2) + (-2x^2-5y^2) $$
이제 괄호를 풀고 동류항을 찾기 위해 각 항을 정리합니다. 분배법칙을 꼼꼼하게 적용하세요.
$$ -3x^2+2xy-4y^2 \quad + \quad 10x^2-6xy+2y^2 \quad – \quad 2x^2-5y^2 $$
마지막으로, 동류항끼리 모아서 계산합니다. $x^2$항, $xy$항, $y^2$항을 각각 따로 모아주면 실수를 줄일 수 있습니다.
- $x^2$ 항: $-3x^2 + 10x^2 – 2x^2 = (-3+10-2)x^2 = 5x^2$
- $xy$ 항: $+2xy – 6xy = (2-6)xy = -4xy$
- $y^2$ 항: $-4y^2 + 2y^2 – 5y^2 = (-4+2-5)y^2 = -7y^2$
이렇게 계산된 항들을 모두 합치면 최종 결과가 됩니다.
$$ 5x^2 – 4xy – 7y^2 $$
최종 계산 결과는 $5x^2 – 4xy – 7y^2$ 이므로, 정답은 ①번 입니다.
✨ 최종 정리 및 마무리
오늘은 다항식의 덧셈과 뺄셈 문제를 정확하고 빠르게 푸는 핵심 전략에 대해 깊이 있게 알아보았습니다. 오늘 배운 내용을 통해 왜 “선(先)정리, 후(後)대입”이 중요한지 확실히 느끼셨을 겁니다.
마지막으로 계산 실수를 줄이는 꿀팁을 다시 한번 강조합니다.
- 식을 먼저 간단히 하라: 대입은 가장 마지막, 딱 한 번만 한다.
- 대입할 땐 괄호를 사용하라: 다항식 전체를 괄호로 감싸서 부호 실수를 원천 봉쇄한다.
- 동류항은 줄을 그어가며 확인하라: 계산한 항은 지워가며 누락하는 실수를 방지한다.
다항식의 연산은 모든 수학의 기초 공사와 같습니다. 기초가 튼튼해야 그 위에 어떤 어려운 개념을 쌓아도 무너지지 않습니다. 오늘 배운 전략을 꾸준히 연습하여 여러분의 것으로 만드시길 바랍니다. 수고 많으셨습니다!
1. 다항식의 뜻과 정리 – 개념부터 완벽 마스터하기-고1수학 개념정리