수학의 세계에 오신 것을 환영합니다! 저는 여러분의 친절한 수학 가이드, 곰쌤입니다.
오늘은 많은 학생들이 처음에는 낯설어하지만, 한번 원리를 깨우치면 수학의 강력한 무기가 되는 ‘다항식의 곱셈’에 대해 이야기해 보려 합니다. 복잡해 보이는 식의 곱셈, 혹시 벌써부터 머리가 아프신가요?
괜찮습니다! 다항식 곱셈의 비밀은 단 하나의 공정하고 착한 규칙, 바로 ‘분배법칙’에 숨어 있습니다.
마치 파티에서 모든 사람과 빠짐없이 악수를 나누는 것처럼, 각 항을 공평하게 한 번씩만 곱해주면 끝입니다.
이 원리만 기억한다면, 아무리 긴 다항식이라도 자신 있게 전개할 수 있게 될 거예요. 지금부터 저와 함께 그 원리를 쉽고 재미있게 파헤쳐 봅시다!
1. 모든 곱셈의 시작: 분배법칙이라는 ‘공평한 악수’ 규칙
다항식의 곱셈은 어려운 암기 과목이 아닙니다. 오히려 ‘모두에게 공평하게’라는 아주 상식적인 원칙을 따르는 과정이죠. 이 원칙의 이름이 바로 분배법칙(Distributive Property)입니다.
🤝 분배법칙의 핵심 아이디어
괄호로 묶인 두 그룹이 곱해질 때, 한 그룹의 모든 멤버가 다른 그룹의 모든 멤버와 한 번씩, 빠짐없이 곱해져야 합니다.
가장 기본적인 예제를 통해 이 ‘악수 규칙’이 어떻게 적용되는지 시각적으로 확인해 보겠습니다.
기초 다지기: $(a+b)(x+y)$ 전개하기
여기에 $(a+b)$ 팀과 $(x+y)$ 팀, 두 팀이 있다고 상상해 보세요.
- 먼저 $(a+b)$ 팀의 첫 멤버 $a$가 상대팀 멤버 $x$, $y$와 차례로 악수(곱하기)합니다.
- 다음으로 $(a+b)$ 팀의 두 번째 멤버 $b$가 공평하게 상대팀 멤버 $x$, $y$와 악수합니다.
이 네 번의 악수 결과를 모두 더하면 전개가 완료됩니다.
$$(a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by$$
이처럼 괄호의 곱을 풀어 하나의 다항식으로 만드는 과정을 ‘전개’라고 하고, 그 결과로 나온 식을 ‘전개식’이라고 부릅니다.
2. 전개 후 필수 과정: ‘동류항’끼리 정리하기
자, 공평하게 모든 항을 곱해 식을 쫙 펼쳤다면, 마지막 단계가 남았습니다. 바로 어질러진 방을 정리하듯, 흩어져 있는 항들을 깔끔하게 정돈하는 것입니다.
수학에서는 이 정리 과정을 ‘동류항 계산’이라고 부릅니다.
📦 동류항이란?
문자의 종류와 차수가 모두 같은 항들을 말합니다. 예를 들어 $3x^2$와 $-5x^2$는 문자가 $x$이고 차수가 2로 같으므로 동류항입니다. 하지만 $3x^2$와 $3x$는 차수가 달라서 동류항이 아닙니다.
이제 저작권 걱정 없는 새로운 예제를 통해 ‘전개’와 ‘정리’ 두 단계를 모두 연습해 봅시다.
🧠 실전 훈련: $(x^2 – 3x + 1)(x + 2)$ 완벽 전개하기
항이 여러 개지만 원리는 같습니다. 첫 번째 괄호의 멤버 $x^2$, $-3x$, $1$이 두 번째 괄호의 멤버들과 하나씩, 차근차근 곱셈을 진행하면 됩니다.
1단계: 분배법칙으로 전개하기 (모든 항 곱하기)
- $x^2$을 분배: $x^2(x + 2) = \color{blue}{x^3 + 2x^2}$
- $-3x$를 분배: $-3x(x + 2) = \color{red}{-3x^2 – 6x}$
- $+1$을 분배: $1(x + 2) = \color{green}{+x + 2}$
2단계: 동류항끼리 모아서 정리하기
이제 위에서 얻은 모든 항을 모아 동류항끼리 짝을 지어줍니다.
$$(x^3) + (2x^2 – 3x^2) + (-6x + x) + 2$$
각 동류항 그룹의 계수(숫자 부분)를 계산합니다.
$$(x^3) + (2-3)x^2 + (-6+1)x + 2$$
✨ 최종 정답:
$$x^3 – x^2 – 5x + 2$$
🚫 이것만은 조심하세요! (흔한 실수 TOP 2)
- 부호 실수: 음수 항(예: $-3x$)을 곱할 때, 뒤따라오는 모든 항의 부호가 바뀐다는 점을 잊지 마세요. 가장 많이 하는 실수입니다!
- 누락 실수: 항이 많아지면 자신도 모르게 한두 개를 빼먹고 곱하는 경우가 생깁니다. 손가락으로 짚어가며 하나씩 체크하는 습관이 큰 도움이 됩니다.
📝 오늘 수업 핵심 요약
- 다항식 곱셈의 핵심 원리는 ‘모든 항을 공평하게 한 번씩 곱해주는’ 분배법칙입니다.
- 괄호의 곱을 풀어헤치는 과정을 ‘전개’라고 합니다. 전개할 때는 부호와 누락을 항상 조심해야 합니다.
- 전개가 끝난 후에는 반드시 ‘동류항’(문자와 차수가 같은 항)을 찾아 계수끼리 계산하여 식을 간단하게 정리해야 합니다.
- 다항식 곱셈은 교환법칙($AB=BA$), 결합법칙($(AB)C=A(BC)$)이 성립하여 계산 순서를 유연하게 바꿀 수 있습니다.
오늘 우리는 다항식 곱셈이라는 중요한 산을 함께 넘었습니다. 모든 항을 공평하게 곱하고, 종류별로 정리하는 이 간단한 두 가지 단계만 기억한다면 여러분은 어떤 다항식 곱셈 문제도 해결할 수 있는 자신감을 얻게 될 것입니다. 꾸준한 연습이 최고의 선생님이라는 것을 잊지 마세요. 정말 수고 많으셨습니다!
다항식의 덧셈과 뺄셈, 계산 실수 줄이는 2단계 핵심 전략 -고1수학2