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수열의 합의 기호 개념 및 사용법 – 고2 수학 수1 수열의 합 – 곰쌤수학

수열의 합 기호 개념과 사용법 - 고2 수학 - 시그마 -곰쌤수학

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📘 개념 이해: “합의 기호 $\Sigma$”란?

수열의 합을 나타낼 때, 항의 개수가 많아지면 $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$과 같이 모두 나열하기 번거롭습니다.

이럴 때 사용하는 간결한 기호가 바로 합의 기호 $\Sigma$ (시그마)입니다. $\Sigma$는 그리스 알파벳의 대문자로, 영어의 ‘S’에 해당하며 ‘합(Sum)’을 의미합니다.

기호 $\sum_{k=m}^{n} a_k$는 수열 $\{a_k\}$의 제$m$항부터 제$n$항까지의 합을 나타냅니다.

여기서,

$a_k$: 합을 구하려는 수열의 일반항 (이때 $k$는 변수)
$k$: 일반항의 변수를 나타내는 문자 (다른 문자 사용 가능, 예: $i, j$)
$m$: 합을 시작하는 항의 번호 (아래끝)
$n$: 합을 마치는 항의 번호 (위끝)

일반적으로 $m \le n$이며, $m, n$은 정수입니다. 가장 흔한 경우는 $m=1$일 때입니다.

🔑 $\Sigma$ 기호의 기본적인 표현과 의미:

(1) 기본형: 수열 $\{a_k\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합

$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $$

(2) 짝수 번째 항들의 합: 일반항이 $a_{2k}$인 경우 (여기서 $k$는 1부터 $n$까지 변함)

$$ \sum_{k=1}^{n} a_{2k} = a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{2n} $$

(3) 일반항에 변수 $k$가 곱해진 경우:

$$ \sum_{k=1}^{n} k a_k = (1 \cdot a_1) + (2 \cdot a_2) + (3 \cdot a_3) + \dots + (n \cdot a_n) $$

(4) 두 항씩 묶어 표현된 합: 홀수 번째 항과 그 다음 짝수 번째 항을 묶은 합

$$ \sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1} + a_{2k}) = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n-1} + a_{2n}) $$

이는 결국 수열 $\{a_k\}$의 첫째항부터 제$2n$항까지의 합과 같습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1} + a_{2k}) = \sum_{j=1}^{2n} a_j $$

(여기서 $j$는 새로운 합의 변수로 사용되었습니다. 변수명은 중요하지 않습니다.)

💡 $\Sigma$ 기호로 표현된 합을 이해하는 방법

일반항 확인:$\Sigma$ 다음에 오는 식(일반항 $a_k$)이 무엇인지 정확히 파악합니다.
변수와 범위 확인:합의 변수(예: $k$)가 무엇이고, 이 변수가 얼마부터(아래끝) 얼마까지(위끝) 변하는지 확인합니다.
(필요시) 합을 풀어서 나열해보기:변수 $k$에 아래끝부터 위끝까지의 정수를 차례로 대입하여 각 항을 구하고, 이들을 모두 더하는 형태로 나타내 봅니다. 이렇게 하면 $\Sigma$ 기호의 의미를 명확히 이해할 수 있습니다.예: $\sum_{k=1}^{3} (2k+1) = (2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 2 + 1) + (2 \cdot 3 + 1) = 3 + 5 + 7 = 15$
주어진 정보 활용:문제에서 주어진 $\Sigma$에 대한 정보(예: $\sum a_k = N$)를 이용하여 다른 $\Sigma$ 식의 값을 구해야 하는 경우, 일반항의 형태나 합의 범위를 주의 깊게 비교하고 변형합니다.

시그마 용법은 고2 수학에서 처음 나오기 때문에,

처음 배울 때는 어색할 수 있지만 나열된 수열의 합을 간단히 표현한 내용이랍니다.

주어진 항까지 합을 나타내면 되는 문제입니다.

첫 대표 유형부터 이게 뭔가 싶을 텐데요. 단순히 1부터 대입해서 합을 구하면 되는 문제로 이루어져 있습니다.

✅ 예제 1: 간단한 $\Sigma$ 값 계산

문제: 수열 $\{a_k\}$의 일반항이 $a_k = k^2 – k$일 때, $\sum_{k=1}^{3} a_k$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

1. 일반항 확인: $a_k = k^2 – k$

2. 변수와 범위 확인: 변수는 $k$, 범위는 $k=1$부터 $k=3$까지.

3. 합을 풀어서 나열:

$$ \sum_{k=1}^{3} a_k = a_1 + a_2 + a_3 $$

$a_1 = 1^2 – 1 = 1 – 1 = 0$

$a_2 = 2^2 – 2 = 4 – 2 = 2$

$a_3 = 3^2 – 3 = 9 – 3 = 6$

$$ \therefore \sum_{k=1}^{3} a_k = 0 + 2 + 6 = 8 $$

답: $8$

✅ 예제 2: $\Sigma$ 표현으로부터 다른 $\Sigma$ 값 유추

문제: $\sum_{k=1}^{10} (2a_k – 1) = 50$일 때, $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

$\Sigma$의 기본 성질(다음 시간에 자세히 다룸)을 이용하면 $\sum (A_k – B_k) = \sum A_k – \sum B_k$ 이고, $\sum c = nc$ (c는 상수) 입니다.

주어진 식 $\sum_{k=1}^{10} (2a_k – 1) = 50$을 풀어쓰면,

$$ \sum_{k=1}^{10} 2a_k – \sum_{k=1}^{10} 1 = 50 $$

$$ 2 \sum_{k=1}^{10} a_k – (1 \times 10) = 50 $$

$$ 2 \sum_{k=1}^{10} a_k – 10 = 50 $$

$$ 2 \sum_{k=1}^{10} a_k = 60 $$

$$ \sum_{k=1}^{10} a_k = 30 $$

답: $30$

✅ 예제 3: 두 항씩 묶인 합의 표현 활용

문제: 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1} + a_{2k}) = 2n^2 – n$이 성립할 때, $\sum_{k=1}^{12} a_k$의 값을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 $\Sigma$ 식의 의미 파악:

$\sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1} + a_{2k})$는 수열 $\{a_k\}$의 홀수 번째 항과 바로 다음 짝수 번째 항을 묶어서 더한 것입니다. 이를 풀어서 나열하면,

$$ (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n-1} + a_{2n}) $$

이는 결국 수열 $\{a_k\}$의 첫째항부터 제$2n$항까지의 합과 같습니다.

$$ \sum_{k=1}^{n} (a_{2k-1} + a_{2k}) = \sum_{j=1}^{2n} a_j $$

따라서, 주어진 조건은 $\sum_{j=1}^{2n} a_j = 2n^2 – n$으로 해석할 수 있습니다.

2. 구하려는 값과 연결:

우리가 구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{12} a_k$입니다.

위에서 얻은 관계식 $\sum_{j=1}^{2n} a_j = 2n^2 – n$에서 합의 위끝이 $12$가 되려면 $2n = 12$여야 합니다.

그러므로 $n=6$을 대입하면 됩니다.

3. 값 계산:

$n=6$을 $2n^2 – n$에 대입하면,

$$ \sum_{k=1}^{12} a_k = 2(6)^2 – (6) = 2 \cdot 36 – 6 = 72 – 6 = 66 $$

답: $66$

💡 마무리 정리:

- $\Sigma$ 기호는 수열의 합을 간결하고 명확하게 표현하는 매우 유용한 도구입니다.
- $\Sigma$ 기호를 보면 항상 일반항이 무엇인지, 합의 변수가 무엇이고, 합의 범위(아래끝부터 위끝까지)가 어떻게 되는지를 정확히 파악해야 합니다.
- 복잡해 보이는 $\Sigma$ 표현도 직접 몇 개의 항을 나열해보면 그 의미를 쉽게 이해할 수 있는 경우가 많습니다.
- $\Sigma$의 여러 가지 성질(덧셈, 뺄셈, 상수배 분리 등)과 자연수의 거듭제곱의 합 공식($\sum k, \sum k^2, \sum k^3$)을 알면 더욱 다양한 수열의 합을 효율적으로 계산할 수 있습니다.

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