등차수열의 합 – 수1 – 고2수학 대표유형 개념 및 유형 문제 풀이

📘 개념 이해: “등차수열의 합”이란?

등차수열의 첫째항부터 특정 항까지의 모든 항들을 더한 값을 등차수열의 합이라고 합니다.

첫째항부터 제\(n\)항까지의 합은 기호로 \(S_n\)과 같이 나타냅니다.

$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $$

등차수열의 합을 구하는 공식은 주어진 조건에 따라 두 가지 형태로 주로 사용됩니다.

공식 (1)은 첫째항과 마지막 항의 값을 알 때 사용하기 편리하며, 공식 (2)는 첫째항과 공차를 알 때 직접 합을 계산할 수 있게 해줍니다.

💡 문제 풀이 단계

1. 주어진 조건 파악:문제에서 주어진 정보(첫째항 \(a\), 공차 \(d\), 항의 수 \(n\), 특정 항의 값 \(a_k\), 마지막 항 \(l\) 등)를 명확히 합니다.
2. 적절한 합 공식 선택:주어진 정보를 바탕으로 두 가지 합 공식 중 어느 것을 사용하는 것이 더 효율적인지 판단합니다.
3. (필요시) 누락된 정보 구하기:합 공식을 사용하기 위해 필요한 정보(예: 첫째항, 공차, 항의 수 등)가 부족하다면, 등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a + (n-1)d\) 등을 이용하여 먼저 구합니다.
4. 공식에 값 대입 및 계산:선택한 합 공식에 파악된 값들을 정확히 대입하여 합을 계산합니다.

✅ 예제 1: 첫째항과 공차가 주어질 때

문제: 첫째항이 2이고 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합 \(S_{10}\)을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 조건 파악: 첫째항 \(a=2\), 공차 \(d=4\), 항의 수 \(n=10\)

2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 공차를 알므로 \(S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\) 공식을 사용합니다.

3. (누락된 정보 없음)

4. 공식에 값 대입 및 계산:

$$ S_{10} = \frac{10\{2(2)+(10-1)4\}}{2} $$

$$ S_{10} = \frac{10\{4+9 \cdot 4\}}{2} = \frac{10\{4+36\}}{2} $$

$$ S_{10} = \frac{10 \cdot 40}{2} = \frac{400}{2} = 200 $$

답: \(S_{10} = 200\)

✅ 예제 2: 첫째항과 마지막 항이 주어질 때

문제: 첫째항이 10이고 제8항이 31인 등차수열의 첫째항부터 제8항까지의 합 \(S_8\)을 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 조건 파악: 첫째항 \(a=10\), 항의 수 \(n=8\), 마지막 항 \(l = a_8 = 31\)

2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 마지막 항을 알므로 \(S_n = \frac{n(a+l)}{2}\) 공식을 사용합니다.

3. (누락된 정보 없음)

4. 공식에 값 대입 및 계산:

$$ S_8 = \frac{8(10+31)}{2} $$

$$ S_8 = \frac{8 \cdot 41}{2} = 4 \cdot 41 = 164 $$

답: \(S_8 = 164\)

✅ 예제 3: 두 개의 특정 항의 값이 주어질 때

문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_3 = 8\), \(a_8 = 23\)일 때, 첫째항부터 제12항까지의 합 \(S_{12}\)를 구하시오.

풀이 과정:

1. 주어진 조건 파악: \(a_3 = 8\), \(a_8 = 23\). 구하려는 것은 \(S_{12}\)이므로 항의 수 \(n=12\).

2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 공차를 구해 \(S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\) 공식을 사용할 것입니다.

3. 누락된 정보 구하기 (첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)):

일반항 공식 \(a_n = a+(n-1)d\)를 이용합니다.

$$ a_3 = a + (3-1)d = a + 2d = 8 \quad \cdots \text{①} $$

$$ a_8 = a + (8-1)d = a + 7d = 23 \quad \cdots \text{②} $$

식 ②에서 식 ①을 빼면:

$$ (a+7d) – (a+2d) = 23 – 8 $$

$$ 5d = 15 \implies d = 3 $$

\(d=3\)을 식 ①에 대입하면:

$$ a + 2(3) = 8 \implies a + 6 = 8 \implies a = 2 $$

따라서 첫째항 \(a=2\), 공차 \(d=3\)입니다.

4. 공식에 값 대입 및 계산:

항의 수 \(n=12\), \(a=2\), \(d=3\)을 합 공식에 대입합니다.

$$ S_{12} = \frac{12\{2(2)+(12-1)3\}}{2} $$

$$ S_{12} = \frac{12\{4+11 \cdot 3\}}{2} = \frac{12\{4+33\}}{2} $$

$$ S_{12} = \frac{12 \cdot 37}{2} = 6 \cdot 37 = 222 $$

답: \(S_{12} = 222\)