약수와 배수, 배수판별법 — 초보자도 쏙쏙!

약수와 배수, 배수판별법 — 초보자도 쏙쏙! 과자 나누기 비유로 쉽게 익히기

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핵심 요약: 약수는 ‘나누어 떨어지게 하는 수’로, 과자를 똑같이 나누는 친구 수예요. 배수는 ‘곱한 결과’로, 과자 더미를 만드는 배율이에요. 배수판별법은 숫자가 특정 수의 배수인지 빠르게 확인하는 규칙들입니다. 중학 수학의 기본이니 천천히 익혀보세요!
공부를 늦게 시작해도 괜찮아요.
중학 과정부터 차근차근 복습하면 돼요. 오늘은 대수 파트의 기초인 약수와 배수를 과자 비유로 재미있게 설명할게요.
그림과 예시를 많이 넣어 이해하기 쉽게 했어요. 끝까지 읽고 연습문제 풀어보세요!\

1. 개념을 쏙쏙! 쉽게 이해하기

수학 개념은 어렵게 느껴지지만, 실생활 비유로 접근하면 재미있어요. 약수와 배수를 ‘과자 나누기’로 생각해보죠. 상상력을 발휘해 보세요!

① 약수 (Divisor) = 과자를 똑같이 나누는 친구 수 👭
약수는 어떤 수를 ‘나누어 떨어지게’ 하는 자연수예요. 과자 12개를 친구들에게 똑같이 나누어 줄 때, 가능한 친구 수(1, 2, 3, 4, 6, 12)가 바로 12의 약수죠.
– 정의: 자연수 \( a, b, c \)에 대해 \( a = b \times c \)이면 \( b, c \)는 \( a \)의 약수.
– 1은 모든 수의 약수예요. (과자 1개도 나누기 가능!)
– 자기 자신도 약수예요. (혼자 다 먹기!)
➡️ 예: 8의 약수 = 1, 2, 4, 8 (8 = 1×8, 2×4)
② 배수 (Multiple) = 과자 더미를 만드는 배율 🍪
배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 한 결과예요. 과자 3개를 기본으로 1더미(3), 2더미(6), 3더미(9)…처럼 늘려가는 거죠.
– 정의: 자연수 \( a, b, c \)에 대해 \( a = b \times c \)이면 \( a \)는 \( b, c \)의 배수.
– 모든 수는 자기 자신의 배수예요. (1배!)
➡️ 예: 4의 배수 = 4, 8, 12, 16, … (4×1, 4×2, 4×3, …)
③ 핵심 비교! 약수 vs 배수
– 약수: ‘나누기’ 중심. 큰 수를 작은 수로 쪼개는 느낌.
– 배수: ‘곱하기’ 중심. 작은 수를 키워 큰 수 만드는 느낌.
– 관계: b가 a의 약수면, a는 b의 배수예요. (짝꿍!)
④ 배수판별법의 마법! 🔍
큰 숫자가 특정 수의 배수인지 빠르게 확인하는 규칙들. 계산기 없이도 OK!
– 2의 배수: 짝수 (일의 자리 0,2,4,6,8)
– 3의 배수: 각 자리 숫자 합이 3의 배수
– 4의 배수: 끝 두 자리 수가 4의 배수
– 5의 배수: 일의 자리 0 또는 5
– 6의 배수: 2와 3의 배수 (짝수 + 자리 합 3의 배수)
– 8의 배수: 끝 세 자리 수가 8의 배수
– 9의 배수: 각 자리 숫자 합이 9의 배수
– 10의 배수: 일의 자리 0
➡️ 예: 246은? (2의 배수: 짝수 O, 3의 배수: 2+4+6=12=3×4 O, 6의 배수 O)

2. 개념 확인 퀴즈 3개

퀴즈 1. 12의 약수는 몇 개일까요?

생각해보기: 12를 나누어 떨어지게 하는 자연수 모두 나열해보세요. (과자 12개 나누기!)
정답: 6개 (1, 2, 3, 4, 6, 12)

퀴즈 2. 15의 배수 중 가장 작은 두 자리 수는?

생각해보기: 15×1=15, 15×2=30… 계속 곱해보세요.
정답: 30 (15×2)

퀴즈 3. 372는 3의 배수일까요? (배수판별법 사용)

생각해보기: 자리 숫자 합 계산! 3+7+2=?
정답: 네 (3+7+2=12, 12÷3=4 떨어짐)

3. 연습문제로 익히기

  1. 18의 약수를 모두 나열하세요.
    답: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6개)
  2. 7의 배수 중 20과 30 사이 수는?
    답: 21, 28
  3. 486은 9의 배수인가요? 왜?
    답: 네 (4+8+6=18, 18÷9=2 떨어짐)
  4. 24의 약수 개수는?
    답: 8개 (1,2,3,4,6,8,12,24)
  5. 5의 배수이자 2의 배수인 가장 작은 세 자리 수는?
    답: 100 (10의 배수 = 5와 2 공통 배수)
  6. 135는 5의 배수인가요?
    답: 네 (일의 자리 5)
  7. 42의 약수 중 짝수인 것은?
    답: 2,6,14,42
  8. 728은 4의 배수인가요? 왜?
    답: 네 (끝 두 자리 28÷4=7 떨어짐)
  9. 9의 배수 중 50보다 큰 가장 작은 수는?
    답: 54 (9×6)
  10. 100의 약수 중 가장 큰 홀수는?
    답: 25 (1,5,25 중 가장 큰)

4. 실생활 속 약수와 배수, 배수판별법

  • 과자 나누기 (약수): 친구 6명에게 사탕 18개를 똑같이 주기 (18÷6=3). 18의 약수 6 활용!
  • 시간표 만들기 (배수): 버스 15분 간격 = 15의 배수 (15,30,45…). 지각 피하기!
  • 물건 포장 (배수판별법): 상자 12개, 3개씩 포장? 12 자리 합 1+2=3=3의 배수 O.
  • 게임 점수 (배수): 레벨 업 10점 배수 (10,20,30…). 목표 설정에 유용!
  • 타일 깔기 (약수): 방 24㎡에 타일 크기? 24 약수(1,2,3…) 중 선택으로 빈틈없이.

5. 마무리 정리

  • 약수: 나누어 떨어지게 하는 수 (1과 자신 포함, 과자 나누기 친구 수).
  • 배수: 곱해서 만드는 수 (자신 포함, 과자 더미 배율).
  • 배수판별법: 자리 숫자 이용 빠른 확인 (2:짝수, 3:합÷3, 5:0/5 끝 등).
  • 약수 많을수록 나눌 방법 많아요. 배수판별로 큰 수 다루기 쉬워져요!
대표 유형 문제 5개 (교재 기반, 자세한 풀이)
교재 예시처럼 기본부터 응용까지 풀어보세요. 단계별 풀이로 이해 UP!
대표유형 문제
문제 1: 다음 중 56의 약수가 아닌 것은? (교재 p.9)

① 1 ② 4 ③ 6 ④ 7 ⑤ 28

  1. 56 약수 나열: 56=1×56, 2×28, 4×14, 7×8 → 1,2,4,7,8,14,28,56
  2. 선택지 확인: 1(O),4(O),6(X-56÷6=9.333 떨어지지 않음),7(O),28(O)
\[ \therefore \text{정답: ③ 6} \]
문제 2: 20보다 크고 70보다 작은 4의 배수의 개수를 구하여라.
  1. 4의 배수: 4×6=24 (20 초과 첫째), 4×7=28, … 4×17=68 (70 미만 마지막)
  2. 등차수열: 첫항 24, 공차 4, 마지막 68
  3. 항수: \((68-24)\div4 +1 = 44\div4 +1 =11+1=12\)
\[ \therefore \text{정답: 12개} \]
문제 3: 1350의 약수의 개수를 소인수분해를 이용하여 구하여라.
  1. 소인수분해: 1350÷2=675, 675÷3=225, 225÷3=75, 75÷3=25, 25÷5=5, 5÷5=1 → \(2 \times 3^3 \times 5^2\)
  2. 약수 개수: (1+1)×(3+1)×(2+1)=2×4×3=24
\[ \therefore \text{정답: 24개} \]
문제 4: 240의 약수의 개수와 \(2 \times 5^a \times 7\)의 약수의 개수가 같을 때, 자연수 a의 값을 구하여라.
  1. 240 소인수: 240=2^4 ×3×5 → 약수 개수 (4+1)(1+1)(1+1)=5×2×2=20
  2. 2×5^a×7=2^1 ×5^a ×7^1 → (1+1)(a+1)(1+1)=2(a+1)2=4(a+1)=20
  3. a+1=5 → a=4
\[ \therefore \text{정답: 4} \]
문제 5: 장미 24송이, 백합 72송이, 튤립 56송이를 가능한 한 많은 사람들에게 똑같이 나누어 주려고 한다. 이때 나누어 줄 수 있는 사람의 수를 구하여라. (교재 p.33)
  1. 똑같이 나누기 = 공약수, 가능한 한 많게 = 최대공약수
  2. 24=2^3×3, 72=2^3×3^2, 56=2^3×7
  3. 최대공약수=2^3=8
\[ \therefore \text{정답: 8명} \]
최종 정답 모음
연습 문제: 1.(1,2,3,6,9,18) 2.(21,28) 3.(네) 4.(8개) 5.(100) 6.(네) 7.(2,6,14,42) 8.(네) 9.(54) 10.(25)