수학의 세계를 탐험하는 첫걸음 중 하나는 바로 약수(Divisor)를 이해하는 것입니다.
약수란 어떤 자연수를 나머지 없이 나누어떨어지게 하는 수를 의미해요. 쉽게 말해, 사탕 12개를 친구들에게 똑같이 나누어 줄 때, 한 명도 남기지 않고 나누어 줄 수 있는 친구들의 수가 바로 12의 약수가 되는 것이죠.
- 나눗셈으로 이해하기:
예를 들어, \(18 \div 3 = 6\)처럼 나머지가 정확히 0입니다. 이렇게 나누어떨어지기 때문에, 3은 18의 약수라고 말할 수 있습니다. 하지만 18을 5로 나누면 몫은 3이고 3이 남게 되죠? 이처럼 나머지가 생기면 5는 18의 약수가 아닙니다. - 곱셈으로 이해하기:
약수는 곱셈으로 생각하면 더 쉬워요. 어떤 자연수 \(a\)가 두 자연수 \(b\)와 \(c\)의 곱으로 표현될 때, 즉 \(a = b \times c\) 관계가 성립하면, \(b\)와 \(c\)는 모두 \(a\)의 약수가 됩니다. 예를 들어, \(18 = 3 \times 6\)이므로, 3과 6은 모두 18의 약수입니다.
💡 풀이 전략: 약수를 빠짐없이 찾는 4단계 비법!
큰 수의 약수를 찾을 때 하나라도 빠뜨리면 안 되겠죠? 아래 4단계 비법을 따라 하면 실수를 줄일 수 있습니다. (예시: 40의 약수 찾기)
Step 1. 기본 멤버(1과 자기 자신)부터 찾기
가장 작은 약수인 1과 가장 큰 약수인 자기 자신을 양 끝에 적어두고 시작하면 든든합니다.
\(40 = 1 \times 40\) → 찾은 약수: 1, 40
Step 2. 2부터 차례대로 곱셈 짝꿍 찾기
1 다음으로 작은 수인 2부터 시작해서, 40이 되는 곱셈 짝꿍을 체계적으로 찾아 나갑니다.
\(40 = 2 \times 20\) → 찾은 약수: 2, 20
(40은 3으로 나누어떨어지지 않습니다.)
\(40 = 4 \times 10\) → 찾은 약수: 4, 10
\(40 = 5 \times 8\) → 찾은 약수: 5, 8
Step 3. 멈추는 지점 확인하기
곱셈의 앞 수가 뒷 수보다 커지는 순간, 이미 찾았던 약수들이 반복되므로 탐색을 멈춥니다. 위 예시에서는 5 다음으로 나눌 수 있는 수는 8인데, 8은 이미 5의 짝꿍으로 찾았으므로 여기서 멈추면 됩니다.
Step 4. 찾은 약수들을 크기순으로 멋지게 나열하기
지금까지 찾은 모든 약수들을 작은 수부터 순서대로 정리하면 끝!
40의 모든 약수: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
✅ 실전 예제 풀어보기
예제 1. 다음 보기의 수 중에서, 60의 약수가 아닌 것은 무엇일까요?
- 4
- 9
- 12
- 15
- 30
풀이 과정 (예제 1)
어떤 수가 60의 약수인지 아닌지 판별하는 가장 확실한 방법은 직접 나누어 보는 것입니다. 나누었을 때 나머지가 0이 나오는지 확인해 봅시다.
- ① 4: \(60 \div 4 = 15\) (나머지 0). 따라서 4는 60의 약수입니다.
- ② 9: 60을 9로 나누면 \(9 \times 6 = 54\), \(9 \times 7 = 63\)이므로 나누어떨어지지 않습니다. 따라서 9는 60의 약수가 아닙니다.
- ③ 12: \(60 \div 12 = 5\) (나머지 0). 따라서 12는 60의 약수입니다.
- ④ 15: \(60 \div 15 = 4\) (나머지 0). 따라서 15는 60의 약수입니다.
- ⑤ 30: \(60 \div 30 = 2\) (나머지 0). 따라서 30은 60의 약수입니다.
✅ 정답: ② 9
예제 2. 자연수 24의 약수의 개수는 몇 개일까요?
- 4개
- 6개
- 8개
- 10개
- 12개
풀이 과정 (예제 2)
먼저 24의 약수를 빠짐없이 모두 찾아야 합니다. 위에서 배운 4단계 전략을 사용해 봅시다.
- 곱셈 짝꿍 찾기:
\(1 \times 24\)
\(2 \times 12\)
\(3 \times 8\)
\(4 \times 6\) - 약수 나열하기:
찾은 약수들을 모두 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 입니다. - 개수 세기:
나열된 약수의 개수를 세어보면 총 8개입니다.
✅ 정답: ③ 8개
예제 3. 다음 중 ’20보다 크고 40보다 작은 자연수’ 중에서 약수의 개수가 3개인 수는 무엇일까요?
- 21
- 25
- 32
- 36
- 39
풀이 과정 (예제 3)
이 문제는 두 가지 조건, ① 수의 범위 (\(20 < \text{수} < 40\))와 ② 약수의 개수 (3개)를 모두 만족하는 수를 찾는 문제입니다.
[핵심 개념!] 약수의 개수가 3개인 수의 비밀
약수의 개수가 홀수, 특히 3개인 수는 매우 특별한 형태를 가집니다. 바로 ‘소수(prime number)’의 제곱수입니다.
예를 들어 소수 3의 제곱인 9의 약수는 \(1, 3, 9\) (3개)이고, 소수 5의 제곱인 25의 약수는 \(1, 5, 25\) (3개)입니다. 약수가 (1, 소수, 소수의 제곱) 이렇게 3개로 구성되기 때문이죠.
[문제 해결] 조건을 만족하는 수 찾기
이제 문제의 범위인 ’20보다 크고 40보다 작은 수’ 중에서 ‘소수의 제곱수’를 찾아봅시다.
- 소수 2의 제곱: \(2^2 = 4\) (범위 밖)
- 소수 3의 제곱: \(3^2 = 9\) (범위 밖)
- 소수 5의 제곱: \(5^2 = 25\) (범위 안! \(20 < 25 < 40\) 이므로 조건 만족)
- 소수 7의 제곱: \(7^2 = 49\) (범위 밖)
따라서 주어진 범위 안에서 약수의 개수가 3개인 수는 25 하나뿐입니다.
[보기 검토] 다른 보기들은 왜 답이 아닐까요?
- ① 21의 약수: \(1, 3, 7, 21\) (4개)
- ③ 32의 약수: \(1, 2, 4, 8, 16, 32\) (6개)
- ④ 36의 약수: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\) (9개) → 36은 소수가 아닌 6의 제곱수라서 약수가 많습니다.
- ⑤ 39의 약수: \(1, 3, 13, 39\) (4개)
✅ 정답: ② 25
🧠 개념 정리 – 약수와 관련된 용어들
| 용어 | 설명 | 예시 (12와 18을 기준으로) |
|---|---|---|
| 약수 | 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수 | 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18 |
| 배수 | 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 한 수 | 12의 배수: 12, 24, 36, … |
| 공약수 | 두 개 이상의 수의 공통된 약수 | 12와 18의 공약수: 1, 2, 3, 6 |
| 최대공약수 | 공약수 중에서 가장 큰 수 | 12와 18의 최대공약수: 6 |
✔️ 마무리 요약 및 팁
핵심 요약
약수는 나눗셈과 곱셈, 두 가지 관점에서 모두 이해하는 것이 중요합니다. 어떤 수가 약수인지 헷갈릴 때는, 자신감을 갖고 직접 나누어 나머지가 0이 되는지 확인하는 것이 가장 확실하고 강력한 방법입니다.