원순열 기초 개념 정리 – 확률과 통계 (단순 암기는 이제 그만! 원리부터 이해하기)

 

많은 학생이 순열과 조합을 지나 ‘원순열’을 처음 만났을 때, “$n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$이다”라는 공식을 우선 외우고 넘어갑니다. 하지만 왜 그냥 $n!$이 아닐까요? 왜 하필 1을 빼서 팩토리얼을 계산하는 걸까요? 이러한 근본적인 질문에 답하지 못한다면, 조금만 응용된 문제가 나와도 쉽게 흔들릴 수 있습니다.

 

오늘은 여러분의 그런 궁금증을 속 시원하게 해결해 드리기 위해, 원순열 공식을 무작정 암기하는 것이 아니라 그 공식이 탄생하게 된 원리를 상세한 설명으로 파헤쳐 보겠습니다.

이 글을 끝까지 읽고 나면, 여러분은 원순열을 ‘암기’하는 학생이 아니라 ‘이해’하는 학생으로 거듭날 것입니다.

 

 

 

🎯 원순열, 무엇이 다른가? (직선 순열과의 비교)

원순열을 이해하는 가장 좋은 방법은 우리가 이미 잘 알고 있는 직선 순열(순열)과 비교하는 것입니다. 두 배열의 근본적인 차이는 ‘위치’를 어떻게 인식하느냐에 있습니다.

• 직선 순열: ‘첫 번째 자리’, ‘두 번째 자리’처럼 각 자리가 고유한 의미를 가집니다. 즉, 절대적인 위치가 중요합니다.
• 원순열: 원탁에는 ‘첫 번째 자리’라는 개념이 없습니다. 어디에 앉든 돌리면 그만이니까요. 대신 내 ‘오른쪽’과 ‘왼쪽’에 누가 앉는가와 같은 상대적인 위치만이 의미를 가집니다.

이 차이를 명확히 이해하기 위해, 학생 3명(A, B, C)을 예로 들어보겠습니다.

 

만약 이들을 직선으로 배열한다면, $3! = 6$가지 경우가 나옵니다: (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA). 이 6가지는 모두 다른 경우로 취급됩니다.

하지만 이들을 원탁에 배열하면 어떻게 될까요? 여기서 마법 같은 일이 벌어집니다.

 

 

🔍 공식 유도: 왜 $(n-1)!$ 인가?

위의 예시에서 우리는 원순열의 중복 발생 원리를 확인했습니다. 이제 이를 일반적인 공식으로 만들어 보겠습니다. 공식을 유도하는 방법은 크게 두 가지 관점이 있으며, 두 가지 모두를 이해하면 개념이 더욱 명확해집니다.

 

 

관점 1: 중복을 나누어 제거하기 ($n! \div n$)

가장 정석적인 방법입니다. 먼저 $n$명을 직선으로 배열한 뒤, 원형 배열에서 발생하는 중복을 제거해주는 방식입니다.

1. 일단 $n$명을 직선으로 나열합니다. 경우의 수는 $n!$입니다.
2. 위의 예시처럼, $n$개의 배열은 회전 시 하나의 원순열을 만듭니다. 즉, $n$개씩 중복이 발생합니다.
3. 따라서 직선 순열의 총 가짓수인 $n!$을 중복되는 가짓수인 $n$으로 나누어 줍니다.

이 과정을 통해 첫 번째 원순열 공식이 나옵니다.

$$ \text{원순열의 수} = \frac{n!}{n} $$

그리고 이 식은 팩토리얼의 정의에 따라 다음과 같이 간단해집니다.

$$ \frac{n \times (n-1) \times \dots \times 1}{n} = (n-1)! $$

 

 

 

관점 2: 한 명을 고정하여 기준 만들기

많은 학생이 더 직관적이라고 느끼는 방법입니다. 원형 배열에서 중복이 발생하는 이유는 ‘기준점’이 없어서 빙글빙글 돌기 때문입니다. 그렇다면, 강제로 기준점을 만들어주면 어떨까요?

1. $n$명 중 한 명(예: A)을 아무 자리에나 먼저 앉힙니다. A가 어느 자리에 앉든, 회전하면 모두 같은 경우이므로, 기준점을 만드는 이 행위의 경우의 수는 1가지입니다.
2. 이제 A가 자리에 앉아 고정된 기준이 되었습니다. 더 이상 원탁은 회전의 의미를 잃고, A의 오른쪽 첫 번째 자리, 두 번째 자리… 와 같이 순서가 매겨진 직선 배열처럼 변합니다.
3. 따라서 A를 제외한 나머지 $(n-1)$명을 남은 $(n-1)$개의 자리에 배열하면 됩니다.

이 방법으로 계산한 경우의 수는 남은 사람들을 직선으로 배열하는 것과 같으므로 바로 $(n-1)!$이 됩니다.

관점	핵심 아이디어	계산 과정
중복 나누기	일단 직선으로 세고, 회전 중복을 제거	$n! \div n \rightarrow (n-1)!$
기준점 고정	한 명을 먼저 앉혀 회전을 막고, 나머지를 배열	$1 \times (n-1)! \rightarrow (n-1)!$

 

 

 

✏️ 실력 다지기: 기초 문제 풀이

이제 이 개념을 실제 문제에 적용하여 확실하게 우리 것으로 만들어 봅시다.

✨ 최종 정리 및 마무리

오늘은 원순열의 기초에 대해 깊이 있게 탐구해 보았습니다. 이제 여러분은 왜 원순열의 수가 $(n-1)!$이 되는지 자신 있게 설명할 수 있을 것입니다. 단순한 공식 암기를 넘어 원리를 이해하는 것이야말로, 앞으로 마주할 ‘이웃하는 경우’, ‘이웃하지 않는 경우’, ‘마주보는 경우’ 등 다양한 응용 문제를 해결하는 가장 강력한 무기가 됩니다.

수학 공부에서 ‘왜?’라는 질문을 던지는 것은 매우 중요합니다. 오늘의 학습이 여러분의 수학적 사고력을 한 단계 성장시키는 계기가 되었기를 바랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!

 

원순열 경우의 수 – 이웃하여 앉는 문제 – 확률과 통계

 

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