원순열 경우의 수: 이웃하여 앉는 문제 완벽 정복
많은 학생이 ‘경우의 수’ 단원, 특히 원순열에서 특정 조건이 붙는 응용 문제를 까다로워합니다.
그중에서도 가장 대표적인 유형이 바로 ‘이웃하여 앉는 경우의 수’를 구하는 문제죠.
오늘은 원순열의 기본 개념부터 ‘이웃하는’ 조건이 붙었을 때 어떻게 문제를 해결해야 하는지, 그 핵심 전략을 유사 문제를 통해 단계별로 완벽하게 파헤쳐 보겠습니다!
먼저 원순열이 무엇인지, 그리고 ‘이웃하는 경우’는 어떻게 접근해야 하는지 핵심 개념을 짚고 넘어가겠습니다.
이 ‘묶어서 하나로 보고, 마지막에 묶음 속을 배열한다’는 전략만 기억하면 모든 이웃 문제에 적용할 수 있습니다!
이제 아래 유사 문제를 통해 개념을 제대로 적용해 봅시다.
문제의 조건은 ‘선생님 2명이 이웃’하는 것입니다. 따라서 선생님 2명을 하나의 ‘선생님 묶음’으로 생각합니다.
이제 배열해야 할 대상은 ‘선생님 묶음’ 1개와 학생 5명이 됩니다. 즉, 총 $1+5 = 6$개의 대상을 배열하는 문제로 바뀌게 됩니다.
Step 1에서 정의한 6개의 대상을 원탁에 배열합니다. 이는 $6$개를 원형으로 배열하는 원순열이므로, 공식 $(n-1)!$을 적용합니다.
경우의 수는 다음과 같습니다.
$$ (6-1)! = 5! $$
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$
따라서 ‘선생님 묶음’과 학생들이 원탁에 앉는 경우의 수는 120가지입니다.
이제 묶음 안을 들여다볼 차례입니다. ‘선생님 묶음’ 안에는 선생님 2명이 있습니다. 이 두 분이 서로 자리를 바꿀 수 있습니다.
(선생님A, 선생님B) 순서로 앉는 것과 (선생님B, 선생님A) 순서로 앉는 것은 다른 경우입니다. 묶음 내부의 배열은 원형이 아니므로 일반 순열을 적용합니다.
2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$ 2! = 2 \times 1 = 2 $$
최종 경우의 수는 Step 2에서 구한 ‘전체 배열 경우의 수’와 Step 3에서 구한 ‘묶음 내부 배열 경우의 수’를 곱의 법칙에 따라 곱해주면 됩니다.
$$ (\text{전체 배열}) \times (\text{내부 배열}) = 5! \times 2! $$
$$ 120 \times 2 = 240 $$
원순열에서 ‘이웃하는’ 문제를 만났을 때, 당황하지 말고 오늘 배운 4단계 전략을 떠올리세요.
이 전략만 머릿속에 담아두시면, 어떤 원순열 응용 문제도 자신 있게 해결할 수 있을 겁니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!
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