원순열 경우의 수 – 이웃하여 앉는 문제 – 확률과 통계

Step 1: 이웃하는 대상을 ‘하나의 묶음’으로 취급하기

문제의 조건은 ‘선생님 2명이 이웃’하는 것입니다. 따라서 선생님 2명을 하나의 ‘선생님 묶음’으로 생각합니다.

이제 배열해야 할 대상은 ‘선생님 묶음’ 1개와 학생 5명이 됩니다. 즉, 총 $1+5 = 6$개의 대상을 배열하는 문제로 바뀌게 됩니다.

Step 2: 전체 묶음을 원형으로 배열하기

Step 1에서 정의한 6개의 대상을 원탁에 배열합니다. 이는 $6$개를 원형으로 배열하는 원순열이므로, 공식 $(n-1)!$을 적용합니다.

경우의 수는 다음과 같습니다.

$$ (6-1)! = 5! $$
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$

따라서 ‘선생님 묶음’과 학생들이 원탁에 앉는 경우의 수는 120가지입니다.

Step 3: ‘묶음 내부’에서 자리 바꾸기

이제 묶음 안을 들여다볼 차례입니다. ‘선생님 묶음’ 안에는 선생님 2명이 있습니다. 이 두 분이 서로 자리를 바꿀 수 있습니다.

(선생님A, 선생님B) 순서로 앉는 것과 (선생님B, 선생님A) 순서로 앉는 것은 다른 경우입니다. 묶음 내부의 배열은 원형이 아니므로 일반 순열을 적용합니다.

2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 다음과 같습니다.

$$ 2! = 2 \times 1 = 2 $$

Step 4: 계산 결과 곱하기 (최종 경우의 수)

최종 경우의 수는 Step 2에서 구한 ‘전체 배열 경우의 수’와 Step 3에서 구한 ‘묶음 내부 배열 경우의 수’를 곱의 법칙에 따라 곱해주면 됩니다.

$$ (\text{전체 배열}) \times (\text{내부 배열}) = 5! \times 2! $$
$$ 120 \times 2 = 240 $$