거듭제곱의 역으로 지수 찾기-중1수학-2026년 1학 기 중간고사 대비 -곰쌤수학-260413003

거듭제곱의 역으로 지수 찾기 – \(2^a=64,\;5^2=b\) 유형 완전 정리

지수 문제는 식이 짧아 보여도 개념을 정확히 알아야 실수 없이 풀 수 있습니다.
특히 \(2^a=64\)처럼 “결과를 보고 지수를 찾는 문제”는 거듭제곱의 뜻을 제대로 이해하고 있는지를 묻는 대표 유형입니다.
이번 문제는 계산 자체는 어렵지 않지만,
같은 밑의 거듭제곱을 보고 지수를 빠르게 찾는 법과
문자에 값을 대입해 최종식을 정리하는 과정을 정확히 익히기에 아주 좋은 문제입니다.

대표유형 문제

\(2^a=32,\;5^2=b\)를 만족하는 두 자연수 \(a,\;b\)에 대하여
\[
a+b
\]
의 값을 구하시오.

문제 요약

이 문제는 \(a\)와 \(b\)를 각각 구한 뒤 마지막에 더하는 문제입니다.
핵심은
\[
32=2^5
\]
를 알아내어 \(a=5\)를 찾고,
\[
5^2=25
\]
이므로 \(b=25\)임을 구한 뒤,
마지막으로
\[
a+b
\]
를 계산하는 것입니다.

먼저 꼭 알아야 하는 핵심 개념

거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것을 짧게 나타낸 것입니다.

\[
2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32
\]

\[
5^2=5\times 5=25
\]

따라서 어떤 수가 거듭제곱 꼴로 주어졌을 때는
밑이 무엇인지,
몇 번 곱한 것인지
를 확인하면 됩니다.

풀이 전략

\(2^a=32\)에서 \(32\)를 \(2\)의 거듭제곱으로 바꿉니다.
\(5^2=b\)를 계산해 \(b\)를 구합니다.
마지막으로 \(a+b\)를 계산합니다.

단계별 상세 풀이

Step 1. \(2^a=32\)에서 \(a\) 구하기

문제에서
\[
2^a=32
\]
라고 했습니다.

이제 \(32\)를 \(2\)를 이용한 거듭제곱으로 나타내어 보겠습니다.

\[
2^1=2
\]
\[
2^2=4
\]
\[
2^3=8
\]
\[
2^4=16
\]
\[
2^5=32
\]

따라서
\[
32=2^5
\]
입니다.

그런데
\[
2^a=32=2^5
\]
이므로 같은 밑 \(2\)의 거듭제곱끼리는 지수가 같아야 합니다.

\[
a=5
\]

Step 2. \(5^2=b\)에서 \(b\) 구하기

다음으로
\[
5^2=b
\]
를 봅시다.

\(5^2\)는 \(5\)를 두 번 곱한 것이므로

\[
5^2=5\times 5=25
\]

따라서

\[
b=25
\]

Step 3. \(a+b\) 구하기

앞에서 구한 값을 정리하면

\[
a=5,\qquad b=25
\]

따라서
\[
a+b=5+25
\]
이고,

\[
a+b=30
\]

Step 4. 답 확인하기

따라서 구하는 값은
\[
30
\]
입니다.

최종 정답

\[
\boxed{30}
\]

자주 하는 실수

\(32=2^4\)라고 잘못 생각하는 실수
\[
2^4=16,\qquad 2^5=32
\]
입니다.
\(5^2\)를 \(10\)이라고 생각하는 실수
제곱은 두 배가 아니라
\[
5\times 5
\]
이므로 \(25\)입니다.
\(a\)와 \(b\)를 구하고 마지막 덧셈을 빼먹는 실수
문제는 \(a+b\)를 물었으므로 최종 계산까지 해야 합니다.
거듭제곱을 반복 덧셈처럼 생각하는 실수
거듭제곱은 같은 수의 반복 곱셈입니다.

개념 정리

이런 문제는 다음 순서로 생각하면 빠르게 풀 수 있습니다.

1. 결과를 보고 같은 밑의 거듭제곱으로 바꾼다.

2. 지수를 비교해 문자의 값을 찾는다.

3. 남은 식을 계산한다.

예를 들어
\[
16=2^4,\qquad 32=2^5,\qquad 64=2^6
\]
처럼 자주 나오는 거듭제곱은 익숙하게 기억해 두면 좋습니다.

결국 이 유형은 어려운 계산보다
거듭제곱의 뜻을 정확히 이해하고, 같은 밑으로 바꾸어 보는 습관
이 가장 중요합니다.

대표유형 연습문제 3개 (교사용 정답 표시)

연습문제 1

\(2^a=16,\;3^2=b\)를 만족하는 두 자연수 \(a,\;b\)에 대하여
\[
a+b
\]
의 값을 구하시오.

풀이

\[
16=2^4
\]
이므로
\[
a=4
\]
입니다.

또
\[
3^2=9
\]
이므로
\[
b=9
\]
입니다.

따라서
\[
a+b=4+9=13
\]
입니다.

검산
\(2^4=16\), \(3^2=9\)를 다시 확인하면 맞습니다.

[정답] : \(13\)

연습문제 2

\(3^a=81,\;4^1=b\)를 만족하는 두 자연수 \(a,\;b\)에 대하여
\[
a+b
\]
의 값을 구하시오.

풀이

\[
81=3^4
\]
이므로
\[
a=4
\]
입니다.

또
\[
4^1=4
\]
이므로
\[
b=4
\]
입니다.

따라서
\[
a+b=4+4=8
\]
입니다.

검산
\(3^4=81\)인지 다시 확인하면 정확합니다.

[정답] : \(8\)

연습문제 3

\(5^a=125,\;2^3=b\)를 만족하는 두 자연수 \(a,\;b\)에 대하여
\[
a+b
\]
의 값을 구하시오.

풀이

\[
125=5^3
\]
이므로
\[
a=3
\]
입니다.

또
\[
2^3=8
\]
이므로
\[
b=8
\]
입니다.

따라서
\[
a+b=3+8=11
\]
입니다.

검산
\(5^3=125\), \(2^3=8\)이므로 정확합니다.

[정답] : \(11\)

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