근호가 여러 개 섞여 있고, 곱셈과 나눗셈까지 함께 나오면 식이 아주 복잡해 보입니다.
하지만 이런 문제는 결국 모든 근호를 분수지수로 바꾸고, 지수끼리 더하고 빼는 문제입니다.
이번 문제도 겉모양에 겁먹지 않고, \(\sqrt{\phantom{x}}\), \(\sqrt[6]{\phantom{x}}\), \(\sqrt[3]{\phantom{x}}\)를 차례대로 지수로 바꾸면 아주 깔끔하게 정리할 수 있습니다.
\(a>0,\; b>0\)일 때,
을 간단히 하면?
① \(ab\)
② \(b\sqrt{a}\)
③ \(b\)
④ \(a\)
⑤ \(a^2b\)
이 문제는 복잡한 근호식을 계산하는 것처럼 보이지만,
실제 핵심은 근호를 분수지수로 바꾸는 것과
같은 밑의 지수끼리 더하고 빼는 것입니다.
또한 \(a>0,\;b>0\) 조건이 있으므로, 근호를 지수 형태로 바꿀 때 부호 문제를 걱정하지 않고 바로 계산할 수 있습니다.
\(\sqrt{X}=X^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[6]{X}=X^{\frac{1}{6}}\)
\(\sqrt[3]{X}=X^{\frac{1}{3}}\)
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)
이 문제는 결국 위 공식만 정확히 적용하면 풀립니다.
특히 한꺼번에 계산하려고 하지 말고,
각 근호를 먼저 지수로 바꾼 뒤,
\(a\)끼리, \(b\)끼리 따로 정리하는 것이 가장 안전합니다.
주어진 식은
입니다.
이를 하나씩 지수로 바꾸면
따라서 전체 식은
로 바뀝니다.
이제 거듭제곱의 법칙
\[
(xy)^n=x^ny^n
\]
과
\[
(a^m)^n=a^{mn}
\]
을 이용해 각 항을 전개하겠습니다.
첫 번째 항은
두 번째 항은
세 번째 항은
따라서 전체 식은
가 됩니다.
이제 \(a\)끼리, \(b\)끼리 따로 지수를 계산하겠습니다.
먼저 \(a\)의 지수는
입니다.
\(2\)를 분모 3으로 바꾸면
\[
2=\frac{6}{3}
\]
이므로
따라서 \(a\) 부분은
\[
a^1=a
\]
입니다.
이제 \(b\)의 지수는
입니다.
공통분모를 6으로 맞추면
\[
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{2}{3}=\frac{4}{6}
\]
이므로
따라서 \(b\) 부분은
\[
b^0=1
\]
이 됩니다.
그러므로 전체 식은
로 정리됩니다.
우리가 구한 결과는
\[
a
\]
입니다.
보기에서 \(a\)는 ④번이므로 정답은 ④입니다.
\[
\boxed{④}
\]
즉, 식을 간단히 하면 \(a\)입니다.
근호가 섞여 있는 문자식 문제는 다음 순서로 풀면 거의 틀리지 않습니다.
1. 모든 근호를 분수지수로 바꾼다.
2. 곱셈은 지수를 더하고, 나눗셈은 지수를 뺀다.
3. \(a\), \(b\)처럼 밑이 같은 문자끼리 따로 정리한다.
4. 마지막에 보기와 비교한다.
특히 이 문제처럼 \(a>0,\;b>0\) 조건이 있으면,
근호를 분수지수로 바꾸는 과정이 더 자연스럽고 안전합니다.
양수 조건이 있기 때문에 제곱근, 세제곱근, 육제곱근을 다룰 때 불필요한 부호 고민을 줄일 수 있습니다.
결국 이런 유형은 식이 길어 보여도
근호 → 지수로만 바꾸면 단순한 지수 계산 문제로 바뀐다는 점을 기억하면 됩니다.
\(x>0,\;y>0\)일 때, 다음 식을 간단히 하시오.
풀이
먼저 각 항을 분수지수로 바꿉니다.
\[
\sqrt{x^2y}=(x^2y)^{\frac{1}{2}}=x^1y^{\frac{1}{2}}
\]
\[
\sqrt[3]{xy^2}=(xy^2)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}
\]
\[
\sqrt[6]{x^4y^5}=(x^4y^5)^{\frac{1}{6}}=x^{\frac{4}{6}}y^{\frac{5}{6}}=x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{5}{6}}
\]
입니다.
따라서 전체 식은
\[
x^1y^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}\div x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{5}{6}}
\]
입니다.
이제 \(x\)의 지수를 계산하면
\[
1+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}
\]
이고,
\(y\)의 지수를 계산하면
\[
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
\]
입니다.
따라서 식은
\[
x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}
\]
로 정리됩니다.
검산
각 문자의 지수를 따로 정리했으므로 계산이 정확합니다.
[정답] : \(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}\)
\(p>0,\;q>0\)일 때, 다음 식을 간단히 하시오.
풀이
각 항을 분수지수로 바꾸면
\[
\sqrt[4]{p^2q^3}=p^{\frac{2}{4}}q^{\frac{3}{4}}=p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{3}{4}}
\]
\[
\sqrt{p^2q}=p^{\frac{2}{2}}q^{\frac{1}{2}}=p q^{\frac{1}{2}}
\]
\[
\sqrt[4]{pq}=p^{\frac{1}{4}}q^{\frac{1}{4}}
\]
입니다.
따라서 전체 식은
\[
p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{3}{4}}\cdot pq^{\frac{1}{2}}\div p^{\frac{1}{4}}q^{\frac{1}{4}}
\]
입니다.
이제 \(p\)의 지수를 계산하면
\[
\frac{1}{2}+1-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
\]
이고,
\(q\)의 지수는
\[
\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=1
\]
입니다.
따라서 식은
\[
p^{\frac{5}{4}}q
\]
입니다.
검산
분수지수 계산에서 \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)로 맞추는 과정이 중요합니다.
[정답] : \(p^{\frac{5}{4}}q\)
\(m>0,\;n>0\)일 때, 다음 식을 간단히 하시오.
풀이
각 항을 분수지수로 바꾸면
\[
\sqrt[3]{m^2n}=m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}
\]
\[
\sqrt[6]{m^4n^5}=m^{\frac{4}{6}}n^{\frac{5}{6}}=m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{5}{6}}
\]
\[
\sqrt{mn^2}=m^{\frac{1}{2}}n^1
\]
입니다.
따라서 전체 식은
\[
m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}\cdot m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{5}{6}}\div m^{\frac{1}{2}}n
\]
입니다.
\(m\)의 지수는
\[
\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{5}{6}
\]
이고,
\(n\)의 지수는
\[
\frac{1}{3}+\frac{5}{6}-1=\frac{2}{6}+\frac{5}{6}-\frac{6}{6}=\frac{1}{6}
\]
입니다.
따라서 최종 결과는
\[
m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.
검산
마지막에 \(1=\frac{6}{6}\)으로 맞추어 주는 것이 핵심입니다.
[정답] : \(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}}\)
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