거듭제곱근의 성질 문제 풀이 – 옳은 설명만 있는 보기 고르기
거듭제곱근 문제는 계산보다 개념을 얼마나 정확히 구분하느냐가 더 중요합니다.
특히 제곱근, 세제곱근, 네제곱근처럼 차수가 달라지면 실수의 개수도 달라지고,
양수와 음수에 따라 결론이 완전히 달라집니다.
이번 문제는 이런 성질을 문장으로 묻는 대표 유형으로,
각 보기의 말이 왜 맞는지, 왜 틀리는지를 하나씩 차분하게 따져 보는 것이 핵심입니다.
다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. \(25\)의 제곱근은 \(\pm 5\)이다.
ㄴ. \(n\)이 \(2\) 이상인 짝수일 때, \(-1\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
ㄷ. \(16\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(-2\)와 \(2\)이다.
ㄹ. 실수 \(a\)가 음수이면 \(a\)의 세제곱근 중 실수인 것은 \(2\)개이다.
ㅁ. \(n\)이 \(2\)보다 큰 홀수일 때, \(-8\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ, ㅁ
③ ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ
이 문제는 “어떤 수의 \(n\)제곱근 중 실수인 것이 몇 개인가?”를 정확히 알고 있는지 묻는 문제입니다.
핵심은 딱 두 가지입니다.
주어진 수가 양수인지 음수인지,
그리고 \(n\)이 짝수인지 홀수인지를 먼저 보는 것입니다.
먼저 꼭 알아야 하는 핵심 개념
\(a\)의 \(n\)제곱근은
\[
x^n=a
\]
를 만족하는 수 \(x\)를 말합니다.
1. \(a>0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 2개
2. \(a>0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개
3. \(a<0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 0개
4. \(a<0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개
이 네 가지를 정확히 기억하면 보기 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.
- 각 보기의 문장을 식으로 바꾸어 해석합니다.
- 양수·음수, 짝수근·홀수근을 구분합니다.
- 실수의 개수를 판단합니다.
- 옳은 보기만 묶어서 선택지와 비교합니다.
단계별 상세 풀이
Step 1. ㄱ 판단하기
ㄱ은
\[
25\text{의 제곱근은 }\pm 5\text{이다.}
\]
라고 되어 있습니다.
제곱근은
\[
x^2=25
\]
를 만족하는 수입니다.
이 식을 만족하는 실수는
\[
x=5,\quad x=-5
\]
두 개입니다.
따라서 \(25\)의 제곱근은 \(\pm 5\)가 맞습니다.
Step 2. ㄴ 판단하기
ㄴ은
\[
n\text{이 }2\text{ 이상인 짝수일 때, }-1\text{의 }n\text{제곱근 중 실수인 것은 }1\text{개이다.}
\]
라고 말합니다.
짝수 \(n\)에 대하여
\[
x^n=-1
\]
을 만족하는 실수를 생각해 봅시다.
그런데 짝수 제곱은 어떤 실수를 넣어도 결과가 음수가 될 수 없습니다.
즉,
\[
x^n\ge 0
\]
입니다.
따라서
\[
x^n=-1
\]
은 실수 범위에서 불가능합니다.
그러므로 실수인 것은 1개가 아니라 0개입니다.
Step 3. ㄷ 판단하기
ㄷ은
\[
16\text{의 네제곱근 중 실수인 것은 }-2\text{와 }2\text{이다.}
\]
라고 되어 있습니다.
네제곱근은
\[
x^4=16
\]
을 만족하는 수입니다.
여기서
\[
2^4=16,\qquad (-2)^4=16
\]
이므로 실수인 네제곱근은
\[
-2,\;2
\]
입니다.
따라서 ㄷ의 설명은 맞습니다.
Step 4. ㄹ 판단하기
ㄹ은
\[
\text{실수 }a\text{가 음수이면 }a\text{의 세제곱근 중 실수인 것은 }2\text{개이다.}
\]
라고 말합니다.
세제곱근은
\[
x^3=a
\]
를 만족하는 수입니다.
여기서 \(a\)가 음수라도 홀수 제곱은 음수를 만들 수 있기 때문에 실수해가 존재합니다.
하지만 중요한 점은 홀수 제곱근의 실수해는 항상 1개라는 것입니다.
예를 들어
\[
x^3=-8
\]
의 실수해는 \(-2\) 하나뿐입니다.
따라서 “2개이다”라는 설명은 틀렸습니다.
Step 5. ㅁ 판단하기
ㅁ은
\[
n\text{이 }2\text{보다 큰 홀수일 때, }-8\text{의 }n\text{제곱근 중 실수인 것은 }1\text{개이다.}
\]
라고 되어 있습니다.
\(n\)이 홀수이면
\[
x^n=-8
\]
은 항상 실수해를 하나 가집니다.
홀수 제곱은 음수를 그대로 음수로 만들 수 있기 때문입니다.
예를 들어 \(n=3\)이면
\[
x^3=-8
\]
의 실수해는 \(-2\) 하나입니다.
\(n=5\), \(n=7\)처럼 더 큰 홀수여도 실수해는 정확히 하나만 존재합니다.
따라서 ㅁ은 맞는 설명입니다.
Step 6. 옳은 보기만 정리하기
지금까지 판별한 결과를 정리하면
- ㄱ : 옳다
- ㄴ : 틀리다
- ㄷ : 옳다
- ㄹ : 틀리다
- ㅁ : 옳다
따라서 옳은 것은
\[
\boxed{\text{ㄱ, ㄷ, ㅁ}}
\]
입니다.
보기에서 이에 해당하는 것은 ②입니다.
\[
\boxed{②}
\]
옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ입니다.
자주 하는 실수
- 제곱근과 \(\sqrt{\phantom{x}}\)를 혼동하는 실수
\(25\)의 제곱근은 \(\pm5\)이지만, \(\sqrt{25}\)는 \(5\) 하나입니다. - 음수의 짝수제곱근도 실수라고 착각하는 실수
\(-1\)이나 \(-16\)의 짝수제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않습니다. - 홀수제곱근이면 무조건 \(\pm\)가 붙는다고 생각하는 실수
홀수제곱근의 실수해는 항상 1개입니다. - 네제곱근이나 세제곱근도 제곱근처럼 생각하는 실수
차수가 바뀌면 실수의 개수도 달라지므로 꼭 따로 판단해야 합니다.
개념 정리
거듭제곱근의 실수 개수는 아래 네 줄로 정리하면 거의 모든 문제가 해결됩니다.
양수의 짝수제곱근 → 실수 2개
양수의 홀수제곱근 → 실수 1개
음수의 짝수제곱근 → 실수 0개
음수의 홀수제곱근 → 실수 1개
결국 문제를 풀 때는 먼저
수의 부호와
근의 차수의 짝홀
을 확인하면 됩니다.
계산보다 개념 정리가 더 중요한 단원이므로, 보기 문제를 통해 말로 표현된 성질도 정확히 익혀 두는 것이 좋습니다.
대표유형 연습문제 3개 (교사용 정답 표시)
연습문제 1
다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(36\)의 제곱근은 \(\pm 6\)이다.
ㄴ. \(-16\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(2\)개이다.
ㄷ. \(27\)의 세제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
풀이
ㄱ: \(x^2=36\)의 실수해는 \(x=6,-6\)이므로 맞습니다.
ㄴ: \(-16\)의 네제곱근은
\[
x^4=-16
\]
의 실수해를 말합니다.
하지만 짝수제곱은 음수가 될 수 없으므로 실수해가 없습니다.
따라서 틀렸습니다.
ㄷ: \(27\)의 세제곱근은
\[
x^3=27
\]
의 실수해를 말하고, 그 해는 \(x=3\) 하나뿐입니다.
따라서 맞습니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄷ
연습문제 2
다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(81\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(-3\)과 \(3\)이다.
ㄴ. \(-8\)의 세제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
ㄷ. 음수의 짝수제곱근은 항상 \(2\)개이다.
풀이
ㄱ: \(x^4=81\)이면 \(x=\pm 3\)이므로 맞습니다.
ㄴ: \(-8\)의 세제곱근은
\[
x^3=-8
\]
의 실수해를 말하며, \(x=-2\) 하나뿐입니다.
따라서 맞습니다.
ㄷ: 음수의 짝수제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않습니다.
따라서 틀렸습니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄴ
연습문제 3
다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(64\)의 여섯제곱근 중 실수인 것은 \(2\)개이다.
ㄴ. \(-64\)의 여섯제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
ㄷ. \(-64\)의 세제곱근 중 실수인 것은 \(1\)개이다.
풀이
ㄱ: \(64\)는 양수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 여섯제곱근은 2개입니다.
따라서 맞습니다.
ㄴ: \(-64\)는 음수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 여섯제곱근은 없습니다.
따라서 틀렸습니다.
ㄷ: \(-64\)는 음수이고 \(3\)은 홀수이므로 실수인 세제곱근은 1개입니다.
따라서 맞습니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄷ