핵심 요약
이 문제는 거듭제곱의 뜻과 같은 수를 여러 번 곱한 것을 지수로 바르게 나타내는 방법을 묻는 대표 유형입니다.
보기마다 숫자가 비슷해 보여도, 곱셈인지 덧셈인지, 밑과 지수의 뜻이 맞는지를 정확히 확인해야 합니다.
문제
다음 중 옳은 것은?
① \(2^{4}=8\)
② \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{3}\)
③ \(6+6+6+6 = 6^{4}\)
④ \((2 \times 5)\times(2 \times 5)=2 \times (2 \times 5)\)
⑤ \(2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^{3} \times 7^{2}\)
문제 요약
이 문제는 다섯 보기 중에서 거듭제곱을 올바르게 이해한 식을 찾는 문제입니다.
거듭제곱에서는 같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단히 나타냅니다.
따라서 덧셈을 거듭제곱으로 바꾸거나, 지수의 개수를 잘못 세면 바로 틀리게 됩니다.
단계별 아주 자세한 풀이
핵심 전략
- 거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱할 때만 사용한다는 점을 먼저 기억합니다.
- 밑은 무엇인지, 지수는 몇 번 곱했는지를 뜻하는지 확인합니다.
- 보기 하나씩 실제 값으로 계산해 보면 가장 안전합니다.
Step 1. 거듭제곱의 뜻 먼저 확인하기
\(a^{n}\)은 \(a\)를 \(n\)번 곱한 것을 뜻합니다.
예를 들면
\[
5^{3}=5 \times 5 \times 5
\]
입니다.
여기서
- \(5\)를 밑이라고 합니다.
- \(3\)을 지수라고 합니다.
즉, 지수는 같은 수가 몇 번 곱해졌는지를 나타냅니다.
Step 2. ① \(2^{4}=8\) 인지 확인하기
\(2^{4}\)는 \(2\)를 \(4\)번 곱한 것이므로
\[
2^{4}=2 \times 2 \times 2 \times 2=16
\]
입니다.
그런데 보기에서는 \(8\)이라고 했습니다.
따라서 ①은 틀렸습니다.
\(2^{4}=16\) 이므로 ①은 틀림
Step 3. ② \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{3}\) 인지 확인하기
왼쪽은 \(3\)이 \(4\)번 곱해져 있습니다.
\[
3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{4}
\]
이어야 맞습니다.
그런데 보기에서는 \(3^{3}\)이라고 했습니다.
지수를 하나 적게 쓴 것이므로 ②는 틀렸습니다.
Step 4. ③ \(6+6+6+6 = 6^{4}\) 인지 확인하기
이 보기에서 중요한 점은
덧셈이라는 것입니다.
거듭제곱은 같은 수를 여러 번
곱할 때 쓰는 표현이지, 더할 때 쓰는 표현이 아닙니다.
실제로
\[
6+6+6+6=24
\]
이고,
\[
6^{4}=6 \times 6 \times 6 \times 6=1296
\]
입니다.
값도 전혀 다르므로 ③은 틀렸습니다.
Step 5. ④ \((2 \times 5)\times(2 \times 5)=2 \times (2 \times 5)\) 인지 확인하기
왼쪽부터 계산해 보겠습니다.
\[
(2 \times 5)\times(2 \times 5)=10 \times 10=100
\]
입니다.
오른쪽은
\[
2 \times (2 \times 5)=2 \times 10=20
\]
입니다.
왼쪽과 오른쪽의 값이 다르므로 ④는 틀렸습니다.
왼쪽 \(=100\), 오른쪽 \(=20\) → 서로 다름
Step 6. ⑤ \(2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^{3} \times 7^{2}\) 인지 확인하기
왼쪽 식을 보면 \(2\)가 \(3\)번 곱해져 있고, \(7\)이 \(2\)번 곱해져 있습니다.
따라서 이를 거듭제곱으로 나타내면
\[
2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^{3} \times 7^{2}
\]
가 됩니다.
이것은 정확히 맞는 표현입니다.
따라서 ⑤는 옳습니다.
\(2\)는 \(3\)번, \(7\)은 \(2\)번 곱해짐 → \(2^{3} \times 7^{2}\)
Step 7. 보기 전체를 한눈에 정리하기
① \(2^{4}=16\)이므로 틀림
② \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{4}\)이므로 틀림
③ 덧셈은 거듭제곱으로 나타낼 수 없으므로 틀림
④ 왼쪽은 \(100\), 오른쪽은 \(20\)이므로 틀림
⑤ \(2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^{3} \times 7^{2}\) 이므로 맞음
Step 8. 최종 답 정리하기
다섯 보기 중에서 옳은 것은 ⑤ 하나뿐입니다.
최종 정답 : ⑤
개념을 더 쉽게 이해해 보기
1. 거듭제곱은 왜 사용하는가?
같은 수를 여러 번 곱한 식은 길게 쓰면 불편합니다.
예를 들어
\[
4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4
\]
를 매번 길게 쓰는 대신
\[
4^{5}
\]
처럼 간단하게 쓸 수 있습니다.
그래서 거듭제곱은 반복되는 곱셈을 짧고 깔끔하게 나타내는 방법입니다.
2. 밑과 지수를 헷갈리지 말자
\(5^{3}\)에서 밑은 \(5\), 지수는 \(3\)입니다.
이것은 \(5\)를 \(3\)번 곱한다는 뜻입니다.
즉,
\[
5^{3}=5 \times 5 \times 5
\]
입니다.
학생들이 자주 하는 실수는 \(5^{3}\)을 \(5 \times 3\)처럼 생각하는 것인데, 이것은 완전히 다른 뜻입니다.
3. 덧셈과 곱셈은 구별해야 한다
\(7+7+7\)은 같은 수를 여러 번
더한 것입니다.
이것은 곱셈으로 \(7 \times 3\)처럼 바꿀 수는 있지만, 거듭제곱으로 바꾸는 것은 아닙니다.
반면
\[
7 \times 7 \times 7 = 7^{3}
\]
는 같은 수를 여러 번 곱한 것이므로 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다.
이 차이를 정확히 알아야 합니다.
자주 하는 실수
- 지수를 잘못 세는 실수
같은 수가 몇 번 곱해졌는지 정확히 세어야 합니다. - 덧셈을 거듭제곱으로 착각하는 실수
거듭제곱은 곱셈일 때만 사용합니다. - 겉모양만 보고 맞다고 판단하는 실수
숫자가 비슷해 보여도 실제 값까지 계산해 보는 습관이 중요합니다.
대표유형 연습 문제 3개
연습문제 1
다음 중 옳은 것은?
① \(4^{2}=8\)
② \(5 \times 5 \times 5 = 5^{3}\)
③ \(3+3+3=3^{3}\)
④ \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{3}\)
⑤ \(6 \times 6 = 12^{2}\)
\(5 \times 5 \times 5\)는 \(5\)가 \(3\)번 곱해진 것이므로 \(5^{3}\)이 맞습니다.
따라서 정답은 ②입니다.
연습문제 2
다음 중 옳은 것은?
① \(7 \times 7 = 14^{2}\)
② \(2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3\)
③ \(9+9=9^{2}\)
④ \(3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 3^{3} \times 5^{2}\)
⑤ \(10^{2}=20\)
\(3\)이 \(3\)번, \(5\)가 \(2\)번 곱해졌으므로 \(3^{3} \times 5^{2}\)가 맞습니다.
따라서 정답은 ④입니다.
연습문제 3
다음 중 옳은 것은?
① \(8^{2}=16\)
② \(4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^{5}\)
③ \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{5}\)
④ \(6+6+6+6+6=6^{5}\)
⑤ \((3 \times 2)\times(3 \times 2)=2 \times (3 \times 2)\)
\(2\)가 \(5\)번 곱해졌으므로 \(2^{5}\)가 맞습니다.
따라서 정답은 ③입니다.
꼭 기억할 문장
거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단히 나타낸 표현입니다.
\(a^{n}=a \times a \times a \times \cdots \times a\)
한 줄 마무리
거듭제곱 문제는 같은 수가 몇 번 곱해졌는지를 정확히 세는 것이 가장 중요합니다.
이 문제에서는 \(2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^{3} \times 7^{2}\)만 맞으므로 정답은 ⑤입니다.