근호의 계산과 지수법칙 문제 풀이 | 옳은 식 고르기 대표유형 정리

대표유형 문제

다음 보기 중 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(\left(\sqrt[4]{3}\right)^4=3\)

ㄴ. \(\sqrt[3]{\sqrt{5}}=\sqrt[6]{5}\)

ㄷ. \(\sqrt[15]{2^3}=\sqrt[5]{2}\)

ㄹ. \(\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{18}\)

문제 요약

이 문제는 근호를 지수로 바꾸어 계산할 수 있는지,
그리고 서로 다른 꼴의 근호식을 올바르게 정리할 수 있는지를 묻는 문제입니다.
겉으로는 식이 복잡해 보이지만,
핵심은 “근호를 분수지수로 바꾼 뒤 비교하기”입니다.

먼저 알아둘 핵심 개념

근호 계산 문제에서는 다음 네 가지를 정확히 알고 있어야 합니다.

1. \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

2. \(\left(a^{m}\right)^n=a^{mn}\)

3. \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)

4. \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) 는 근호의 차수 \(n\)이 같을 때만 바로 사용할 수 있습니다.

따라서 보기 문제를 풀 때는 식을 눈으로 대충 판단하지 말고,
반드시 같은 형태로 바꾸어 비교해야 합니다.
가장 편한 방법은 모두 분수지수 꼴로 바꾸는 것입니다.

풀이 전략

각 보기의 왼쪽과 오른쪽을 같은 꼴로 바꿉니다.
근호는 분수지수로 바꾸어 계산합니다.
지수가 같은지, 밑이 같은지 확인합니다.
참인 보기만 골라 정답을 정리합니다.

단계별 상세 풀이

Step 1. ㄱ 판단하기

ㄱ은
\[
\left(\sqrt[4]{3}\right)^4=3
\]
인지 묻고 있습니다.

먼저 \(\sqrt[4]{3}\)을 분수지수로 바꾸면
\[
\sqrt[4]{3}=3^{\frac{1}{4}}
\]
입니다.

따라서 왼쪽은
\[
\left(3^{\frac{1}{4}}\right)^4
\]
이고, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙
\[
\left(a^m\right)^n=a^{mn}
\]
을 사용하면
\[
\left(3^{\frac{1}{4}}\right)^4=3^{\frac{1}{4}\cdot 4}=3^1=3
\]
가 됩니다.

오른쪽도 \(3\)이므로 두 식은 같습니다.

따라서 ㄱ은 옳습니다.

Step 2. ㄴ 판단하기

ㄴ은
\[
\sqrt[3]{\sqrt{5}}=\sqrt[6]{5}
\]
인지 묻고 있습니다.

왼쪽부터 차근차근 분수지수로 바꾸겠습니다.
먼저
\[
\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}
\]
입니다.

따라서
\[
\sqrt[3]{\sqrt{5}}=\sqrt[3]{5^{\frac{1}{2}}}
=\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}
\]
입니다.

이제 지수를 곱하면
\[
\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}
=5^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}
=5^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.

그런데
\[
5^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{5}
\]
이므로 왼쪽과 오른쪽이 완전히 같습니다.

따라서 ㄴ은 옳습니다.

Step 3. ㄷ 판단하기

ㄷ은
\[
\sqrt[15]{2^3}=\sqrt[5]{2}
\]
인지 묻고 있습니다.

왼쪽을 분수지수로 바꾸면
\[
\sqrt[15]{2^3}=(2^3)^{\frac{1}{15}}
\]
입니다.

거듭제곱의 지수법칙을 쓰면
\[
(2^3)^{\frac{1}{15}}=2^{3\cdot\frac{1}{15}}=2^{\frac{3}{15}}=2^{\frac{1}{5}}
\]
입니다.

그리고
\[
2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}
\]
이므로 왼쪽과 오른쪽이 같습니다.

이 보기는 지수 약분을 정확히 할 수 있는지를 묻는 보기입니다.
\(\frac{3}{15}\)를 \(\frac{1}{5}\)로 줄이는 과정을 놓치지 않아야 합니다.

따라서 ㄷ은 옳습니다.

Step 4. ㄹ 판단하기

ㄹ은
\[
\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{18}
\]
인지 묻고 있습니다.

이 식은 겉보기에 바로
\[
\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
\]
공식을 적용할 수 있는 꼴입니다.
실제로 두 근호의 차수가 모두 \(3\)으로 같습니다.

따라서
\[
\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{2\cdot 9}=\sqrt[3]{18}
\]
이 됩니다.

분수지수로 확인해 보아도
\[
\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{9}=2^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}=(2\cdot 9)^{\frac{1}{3}}=18^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{18}
\]
이므로 맞습니다.

따라서 ㄹ은 옳습니다.

Step 5. 정답 정리

지금까지 확인한 결과를 정리하면

ㄱ : 옳다
ㄴ : 옳다
ㄷ : 옳다
ㄹ : 옳다

정답 : ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

최종 정답

ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

자주 하는 실수

\(\sqrt[3]{\sqrt{5}}\)를 \(\sqrt[5]{3}\)처럼 엉뚱하게 바꾸는 실수
안쪽 근호부터 분수지수로 바꾸고, 그다음 다시 전체를 지수로 처리해야 합니다.
\((2^3)^{\frac{1}{15}}\)에서 지수를 더하는 실수
이런 형태는 지수를 더하는 것이 아니라 곱해야 하므로
\[
3\cdot\frac{1}{15}=\frac{1}{5}
\]
입니다.
\(\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}\) 공식을 차수가 다를 때도 사용하는 실수
이 공식은 반드시 근호의 차수가 같을 때만 바로 사용할 수 있습니다.
근호를 보고 바로 감으로 맞다, 틀리다를 판단하는 실수
보기 문제일수록 반드시 분수지수 꼴로 바꾸어 확인해야 실수를 줄일 수 있습니다.

개념 정리

근호 계산 문제는 결국 지수법칙 문제입니다.
그래서 근호를 보면 먼저 다음처럼 바꾸는 습관이 중요합니다.

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{mn}}\)

\(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)

\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a\) \(\,(a>0 \text{일 때 자연스럽게 이해 가능})\)

시험에서는 숫자를 크게 바꾸거나 차수를 복잡하게 만들어 헷갈리게 하지만,
원리는 늘 같습니다.
분수지수로 바꾸고, 지수끼리 곱하거나 더하고, 마지막에 다시 근호로 돌아오기
이 흐름만 익히면 됩니다.

특히 보기형 문제는 한눈에 판단하려고 하지 말고,
왼쪽과 오른쪽을 같은 꼴로 바꾸어 비교하는 습관을 들이면 정확도가 크게 올라갑니다.

대표유형 연습문제 3개 (교사용 정답 표시)

연습문제 1

다음 보기 중 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(\left(\sqrt[5]{2}\right)^5=2\)

ㄴ. \(\sqrt[2]{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[5]{7}\)

ㄷ. \(\sqrt[4]{3}\sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{81}\)

풀이

ㄱ 확인
\[
\sqrt[5]{2}=2^{\frac{1}{5}}
\]
이므로
\[
\left(\sqrt[5]{2}\right)^5=\left(2^{\frac{1}{5}}\right)^5=2^{\frac{1}{5}\cdot 5}=2
\]
입니다.
따라서 ㄱ은 옳습니다.

ㄴ 확인
먼저
\[
\sqrt[3]{7}=7^{\frac{1}{3}}
\]
이고,
\[
\sqrt{\sqrt[3]{7}}=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.
그런데 오른쪽 \(\sqrt[5]{7}\)은
\[
7^{\frac{1}{5}}
\]
이므로
\[
7^{\frac{1}{6}}\ne 7^{\frac{1}{5}}
\]
입니다.
따라서 ㄴ은 틀립니다.

ㄷ 확인
두 근호의 차수가 모두 4로 같으므로
\[
\sqrt[4]{3}\sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\cdot 27}=\sqrt[4]{81}
\]
입니다.
따라서 ㄷ은 옳습니다.

검산
ㄱ, ㄷ은 지수법칙과 같은 차수의 근호 곱셈공식에 정확히 맞습니다.
ㄴ은 \(\frac{1}{6}\)과 \(\frac{1}{5}\)를 혼동한 경우입니다.

[정답] : ㄱ, ㄷ

연습문제 2

다음 보기 중 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}\)

ㄴ. \(\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{108}\)

ㄷ. \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^2=\sqrt[3]{25}\)

풀이

ㄱ 확인
왼쪽은
\[
\sqrt[6]{4}=4^{\frac{1}{6}}=(2^2)^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{2}{6}}=2^{\frac{1}{3}}
\]
이고,
\[
2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}
\]
이므로 ㄱ은 옳습니다.

ㄴ 확인
두 근호의 차수가 모두 3이므로
\[
\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{18}=\sqrt[3]{6\cdot 18}=\sqrt[3]{108}
\]
입니다.
따라서 ㄴ은 옳습니다.

ㄷ 확인
왼쪽을 분수지수로 바꾸면
\[
\left(\sqrt[3]{5}\right)^2=\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^2=5^{\frac{2}{3}}
\]
입니다.
오른쪽은
\[
\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}=(5^2)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}
\]
이므로 같습니다.
따라서 ㄷ도 옳습니다.

검산
세 보기 모두 분수지수로 바꾸면 완전히 같은 식이 됩니다.

[정답] : ㄱ, ㄴ, ㄷ

연습문제 3

다음 보기 중 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(\sqrt[4]{\sqrt{16}}=\sqrt[8]{16}\)

ㄴ. \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}=4^{\frac{1}{2}}\)

ㄷ. \(\sqrt[12]{3^4}=\sqrt[3]{3}\)

풀이

ㄱ 확인
안쪽부터 보면
\[
\sqrt{16}=16^{\frac{1}{2}}
\]
이므로
\[
\sqrt[4]{\sqrt{16}}=\left(16^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=16^{\frac{1}{8}}=\sqrt[8]{16}
\]
입니다.
따라서 ㄱ은 옳습니다.

ㄴ 확인
왼쪽을 분수지수로 바꾸면
\[
\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}=4^{\frac{1}{3}}\cdot 4^{\frac{1}{6}}=4^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=4^{\frac{1}{2}}
\]
입니다.
따라서 ㄴ은 옳습니다.

ㄷ 확인
왼쪽은
\[
\sqrt[12]{3^4}=(3^4)^{\frac{1}{12}}=3^{\frac{4}{12}}=3^{\frac{1}{3}}
\]
입니다.
오른쪽 \(\sqrt[3]{3}\)도
\[
3^{\frac{1}{3}}
\]
이므로 서로 같습니다.
따라서 ㄷ은 옳습니다.

검산
세 보기 모두 지수를 정리하면 완전히 일치합니다.

[정답] : ㄱ, ㄴ, ㄷ