근호가 여러 겹으로 섞여 있는 문제는 처음 보면 복잡해 보이지만,
실제로는 근호를 분수지수로 바꾸는 원리만 정확히 알고 있으면 깔끔하게 정리할 수 있습니다.
특히 네제곱근, 제곱근, 세제곱근이 한 식 안에 함께 나오는 유형은 시험에서 자주 출제되는 대표 문제입니다.
이번 문제도 각 항을 차근차근 지수로 바꾸면서, 어디서 약분이 되고 왜 같은 꼴로 정리되는지까지 자세히 살펴보겠습니다.
을 간단히 하시오.
이 문제는 식 전체를 한 번에 건드리기보다,
각 근호를 먼저 지수 형태로 바꾸고,
그다음 분수 안의 지수를 정리한 뒤,
마지막으로 바깥 근호까지 처리하는 문제입니다.
핵심은 복잡한 근호식을 보고 당황하지 말고,
\(16=2^4\)로 바꾸어 지수 계산으로 해결하는 것입니다.
\(\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\)
\(\sqrt[4]{a}=a^{\frac{1}{4}}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)
이 문제는 결국 위의 다섯 가지를 차례대로 적용하는 문제입니다.
특히 분수 안에 있는 근호는 지수끼리 빼기,
바깥 근호는 지수끼리 곱하기로 처리한다는 점이 중요합니다.
먼저 첫 번째 항만 따로 보겠습니다.
안쪽에 있는 \(\sqrt[3]{16}\)을 지수로 바꾸면
따라서 분수 안은
여기서
\[
\frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}
\]
이므로
이제 이 전체에 네제곱근이 씌워져 있으므로,
다시 \(\frac{1}{4}\)제곱을 한다고 생각하면 됩니다.
따라서 첫 번째 항은
로 정리됩니다.
이제 두 번째 항을 보겠습니다.
각각을 지수로 바꾸면
따라서 분수 안은
여기서
\[
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}
\]
이므로
이제 이 전체에 제곱근이 있으므로 \(\frac{1}{2}\)제곱을 해 주면 됩니다.
따라서 두 번째 항은
로 정리됩니다.
지금까지 구한 결과를 원래 식에 대입하면
이제 \(16=2^4\)를 이용해서 더 간단히 바꿔 보겠습니다.
첫 번째 항은
두 번째 항은
따라서 식 전체는
입니다.
여기서 \(2^{-\frac{2}{3}}\)를 공통으로 묶으면
그리고
\[
2^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}
\]
이므로
따라서 구하는 값은
\[
\frac{3}{\sqrt[3]{4}}
\]
입니다.
답은 여러 형태로 쓸 수 있습니다.
방금 구한
\[
\frac{3}{\sqrt[3]{4}}
\]
는 다음과도 같습니다.
보통은
\[
\boxed{\frac{3}{\sqrt[3]{4}}}
\]
또는
\[
\boxed{3\cdot 2^{-\frac{2}{3}}}
\]
형태로 많이 정리합니다.
\[
\boxed{\frac{3}{\sqrt[3]{4}}}
\]
여러 종류의 근호가 한 식 안에 섞여 있으면 복잡해 보이지만,
실제 핵심은 하나입니다.
근호 → 분수지수로 바꾼다.
분수 안 → 지수 빼기로 정리한다.
바깥 근호 → 지수 곱하기로 처리한다.
마지막 → 공통인수 묶기로 간단히 정리한다.
이 순서를 그대로 따르면 대부분의 근호 계산 문제를 안정적으로 해결할 수 있습니다.
특히 \(16\)처럼 거듭제곱 형태로 바꾸기 쉬운 수는
\[
16=2^4
\]
를 적극적으로 활용하면 계산이 훨씬 단순해집니다.
시험에서는 근호 모양이 낯설어서 어려워 보이게 만들지만,
실제로는 지수법칙을 정확히 적용하는지가 핵심입니다.
다음 식을 간단히 하시오.
첫 번째 항부터 보겠습니다.
\[
\sqrt{\frac{\sqrt[3]{8}}{8}}
\]
에서
\[
\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}
\]
이므로 분수 안은
\[
\frac{8^{\frac{1}{3}}}{8}=8^{\frac{1}{3}-1}=8^{-\frac{2}{3}}
\]
입니다.
따라서 전체는
\[
\sqrt{8^{-\frac{2}{3}}}=\left(8^{-\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=8^{-\frac{1}{3}}
\]
입니다.
두 번째 항은
\[
\sqrt[3]{\frac{\sqrt{8}}{8}}
\]
입니다.
여기서
\[
\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}
\]
이므로 분수 안은
\[
\frac{8^{\frac{1}{2}}}{8}=8^{\frac{1}{2}-1}=8^{-\frac{1}{2}}
\]
입니다.
따라서 전체는
\[
\sqrt[3]{8^{-\frac{1}{2}}}=\left(8^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=8^{-\frac{1}{6}}
\]
입니다.
따라서 주어진 식은
\[
8^{-\frac{1}{3}}+8^{-\frac{1}{6}}
\]
이고, \(8=2^3\)이므로
\[
8^{-\frac{1}{3}}=2^{-1}=\frac{1}{2},\qquad 8^{-\frac{1}{6}}=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
입니다.
따라서 최종적으로
\[
\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
입니다.
검산
각 항을 분수지수로 바꾸었고, 마지막에 \(8=2^3\)을 사용하여 깔끔하게 정리했습니다.
[정답] : \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
다음 식을 간단히 하시오.
\[
\sqrt{27}=27^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{27}=27^{\frac{1}{3}}
\]
이므로 분수 안은
\[
\frac{27^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}}=27^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=27^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.
이제 전체가 세제곱근이므로
\[
\sqrt[3]{27^{\frac{1}{6}}}=\left(27^{\frac{1}{6}}\right)^{\frac{1}{3}}=27^{\frac{1}{18}}
\]
입니다.
\(27=3^3\)이므로
\[
27^{\frac{1}{18}}=(3^3)^{\frac{1}{18}}=3^{\frac{3}{18}}=3^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.
따라서
\[
\sqrt[6]{3}
\]
으로 정리됩니다.
검산
지수 계산은 \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\), 다시 \(\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{18}\) 순서로 처리했습니다.
[정답] : \(\sqrt[6]{3}\)
다음 식을 간단히 하시오.
첫 번째 항을 먼저 계산합니다.
\[
\sqrt[4]{\frac{\sqrt{81}}{\sqrt[3]{81}}}
\]
에서
\[
\sqrt{81}=81^{\frac{1}{2}},\qquad \sqrt[3]{81}=81^{\frac{1}{3}}
\]
이므로 분수 안은
\[
\frac{81^{\frac{1}{2}}}{81^{\frac{1}{3}}}=81^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=81^{\frac{1}{6}}
\]
입니다.
따라서 전체는
\[
\sqrt[4]{81^{\frac{1}{6}}}=\left(81^{\frac{1}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}=81^{\frac{1}{24}}
\]
입니다.
두 번째 항을 계산합니다.
\[
\sqrt{\frac{\sqrt[4]{81}}{81}}
\]
에서
\[
\sqrt[4]{81}=81^{\frac{1}{4}}
\]
이므로 분수 안은
\[
\frac{81^{\frac{1}{4}}}{81}=81^{\frac{1}{4}-1}=81^{-\frac{3}{4}}
\]
입니다.
따라서 전체는
\[
\sqrt{81^{-\frac{3}{4}}}=\left(81^{-\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=81^{-\frac{3}{8}}
\]
입니다.
이제 \(81=3^4\)를 사용하면
\[
81^{\frac{1}{24}}=(3^4)^{\frac{1}{24}}=3^{\frac{1}{6}}
\]
이고
\[
81^{-\frac{3}{8}}=(3^4)^{-\frac{3}{8}}=3^{-\frac{12}{8}}=3^{-\frac{3}{2}}
\]
입니다.
따라서 최종적으로
\[
3^{\frac{1}{6}}+3^{-\frac{3}{2}}
\]
입니다.
검산
첫 번째 항은 지수끼리 빼고 다시 \(\frac14\)를 곱했고, 두 번째 항도 같은 순서로 처리했습니다.
[정답] : \(3^{\frac{1}{6}}+3^{-\frac{3}{2}}\)
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