실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)으로 나타낼 때,
의 값을 구하시오.
이 문제는 실제로 복잡한 계산을 하는 문제가 아니라,
어떤 수의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것이 몇 개인지를 빠르게 판단하는 문제입니다.
핵심은 딱 두 가지입니다.
\(a\)가 양수인지 음수인지,
그리고 \(n\)이 짝수인지 홀수인지를 구분하는 것입니다.
\(a\)의 \(n\)제곱근이란
를 만족하는 수 \(x\)를 말합니다.
이때 실수 개수는 다음처럼 정리할 수 있습니다.
1. \(a>0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 2개
2. \(a>0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개
3. \(a<0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 0개
4. \(a<0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개
이 문제는 바로 이 표를 정확히 적용할 수 있는지 묻는 문제입니다.
\(f(12,8)\)는 \(12\)의 \(8\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.
여기서 \(12\)는 양수이고, \(8\)은 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 항상 2개가 나옵니다.
왜냐하면
\[
x^8=12
\]
을 만족하는 실수는 하나의 양수값과 그 음수값이 함께 나오기 때문입니다.
짝수 번 거듭제곱하면 부호가 사라지므로 \(+\)와 \(-\)가 둘 다 가능합니다.
\(f(8,11)\)은 \(8\)의 \(11\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.
여기서 \(8\)은 양수이고, \(11\)은 홀수입니다.
양수의 홀수 제곱근은 실수에서 항상 1개입니다.
이유는 홀수 번 거듭제곱은 부호를 그대로 유지하기 때문입니다.
따라서
\[
x^{11}=8
\]
을 만족하는 실수는 정확히 하나만 존재합니다.
\(f(-12,8)\)은 \(-12\)의 \(8\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.
여기서 \(-12\)는 음수이고, \(8\)은 짝수입니다.
음수의 짝수 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않습니다.
왜냐하면 어떤 실수 \(x\)에 대해서도
\[
x^8 \ge 0
\]
이기 때문입니다.
그런데
\[
x^8=-12
\]
는 왼쪽은 절대로 음수가 될 수 없고, 오른쪽은 음수이므로 실수에서는 불가능합니다.
\(f(-8,11)\)은 \(-8\)의 \(11\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.
여기서 \(-8\)은 음수이고, \(11\)은 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 항상 1개가 존재합니다.
홀수 번 거듭제곱은 음수를 그대로 음수로 만들 수 있기 때문입니다.
예를 들어
\[
(-2)^3=-8
\]
처럼 홀수 제곱에서는 음수값이 충분히 나올 수 있습니다.
따라서
\[
x^{11}=-8
\]
도 실수해를 정확히 하나 가집니다.
이제 구한 값을 원래 식에 대입합니다.
따라서 구하는 값은 \(4\)입니다.
\[
\boxed{4}
\]
거듭제곱근의 실수 개수 문제는 아래 표처럼 기억하면 가장 편합니다.
\(a>0\), \(n\) 짝수 → 2개
\(a>0\), \(n\) 홀수 → 1개
\(a<0\), \(n\) 짝수 → 0개
\(a<0\), \(n\) 홀수 → 1개
결국 이 문제는 복잡한 식처럼 보여도,
각 항을 하나씩 표에 맞춰서 판단하면 됩니다.
시험장에서 가장 빠른 방법은
“양수/음수 먼저, 짝수/홀수 나중”
순서로 보는 것입니다.
이 순서만 익숙해지면 비슷한 문제를 아주 빠르게 풀 수 있습니다.
실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.
풀이
먼저 \(f(7,6)\)을 봅니다.
\(7\)은 양수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 \(6\)제곱근은 2개입니다.
따라서
\[
f(7,6)=2
\]
입니다.
다음으로 \(f(-7,5)\)를 봅니다.
\(-7\)은 음수이고 \(5\)는 홀수이므로 실수인 \(5\)제곱근은 1개입니다.
따라서
\[
f(-7,5)=1
\]
입니다.
마지막으로 \(f(-7,6)\)을 봅니다.
\(-7\)은 음수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 \(6\)제곱근은 없습니다.
따라서
\[
f(-7,6)=0
\]
입니다.
이제 식에 대입하면
\[
f(7,6)+f(-7,5)-f(-7,6)=2+1-0=3
\]
입니다.
[정답] : \(3\)
실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.
풀이
\(f(15,4)\)에서 \(15\)는 양수, \(4\)는 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 2개이므로
\[
f(15,4)=2
\]
입니다.
\(f(15,9)\)에서 \(15\)는 양수, \(9\)는 홀수입니다.
양수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(15,9)=1
\]
입니다.
\(f(-15,9)\)에서 \(-15\)는 음수, \(9\)는 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(-15,9)=1
\]
입니다.
따라서 전체 식은
\[
2+1+1=4
\]
입니다.
[정답] : \(4\)
실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.
풀이
먼저 \(f(-4,7)\)을 구합니다.
\(-4\)는 음수이고 \(7\)은 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(-4,7)=1
\]
입니다.
다음 \(f(4,10)\)을 구합니다.
\(4\)는 양수이고 \(10\)은 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 2개이므로
\[
f(4,10)=2
\]
입니다.
다음 \(f(-4,10)\)을 구합니다.
\(-4\)는 음수이고 \(10\)은 짝수입니다.
음수의 짝수 제곱근은 실수에서 0개이므로
\[
f(-4,10)=0
\]
입니다.
이제 식에 대입하면
\[
2f(-4,7)+f(4,10)-f(-4,10)=2\cdot 1+2-0
\]
\[
=2+2=4
\]
입니다.
[정답] : \(4\)
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