핵심 요약
• 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수.
• 자연수 \(a,b,c\)에 대해 \(a=b\times c\)이면 \(b,c\)는 \(a\)의 약수.
• 1은 모든 수의 약수이고, \(a\) 자신도 \(a\)의 약수.
• 합성수: 1보다 큰 수 중 소수들의 곱으로 만들 수 있는 수 → 약수가 3개 이상 생김.
• 소수: 1보다 큰 수 중 약수가 \(1\)과 자기 자신 두 개뿐인 수.
• 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수.
• 자연수 \(a,b,c\)에 대해 \(a=b\times c\)이면 \(b,c\)는 \(a\)의 약수.
• 1은 모든 수의 약수이고, \(a\) 자신도 \(a\)의 약수.
• 합성수: 1보다 큰 수 중 소수들의 곱으로 만들 수 있는 수 → 약수가 3개 이상 생김.
• 소수: 1보다 큰 수 중 약수가 \(1\)과 자기 자신 두 개뿐인 수.
1. 약수의 뜻
\(a=b\times c\)라고 쓸 수 있으면, \(b\)와 \(c\)는 \(a\)의 약수입니다.
예) \(8=1\times 8=2\times 4\) → 8의 약수는 \(1,2,4,8\).
2. 약수 찾는 법(짝 만들기)
- 1과 자기 자신은 항상 약수로 적기.
- 작은 수부터 나누어 보며 짝을 만든다. \(a\div 2,\ a\div 3,\ a\div 4,\dots\)
- 나누어떨어지면 나눈 수와 몫 둘 다 약수로 적기. (예: \(20\div 4=5\) → 4와 5 모두 약수)
- 앞에서 이미 나온 짝이 겹치기 시작하면 멈추기. (예: \(36\)에서 \(6\times 6\)에서 겹침)
예시 — 8의 약수 채우기
\(8=1\times 8=2\times 4\) 이므로 8의 약수: \(1,\ \boxed{2},\ \boxed{4},\ 8\)
\(8=1\times 8=2\times 4\) 이므로 8의 약수: \(1,\ \boxed{2},\ \boxed{4},\ 8\)
대표유형 1 — “약수 모두 구하기”
문제 \(24\)의 약수를 모두 구하여라.
단계별 풀이
- 기본: \(1,24\).
- 2로 나눔: \(24\div 2=12\) → \(2,12\).
- 3로 나눔: \(24\div 3=8\) → \(3,8\).
- 4로 나눔: \(24\div 4=6\) → \(4,6\).
- 5는 안 됨. 6까지 검사했더니 4와 6이 겹치기 시작 → 멈춤.
정답 : \(1,2,3,4,6,8,12,24\)
대표유형 2 — “소수의 곱으로 합성수 판별”
문제 \(45\)가 합성수인지 소수인지 판별하라.
풀이 \(45=9\times 5=3\times 3\times 5\). 소수들의 곱으로 표현되므로 약수가 3개 이상 → 합성수.
대표유형 3 — “소수인지 판단”
문제 \(31\)이 소수인지 판별하라.
풀이 짝수 아님, 끝자리가 5 아님. 작은 소수 \(3,5\)로 나눠도 나누어떨어지지 않음 → 소수.
바로 연습 — 개념 확인 8문제(정답 포함)
- \(8\)의 약수를 모두 쓰기 → \(1,2,4,8\)
- \(18\)의 약수를 모두 쓰기 → \(1,2,3,6,9,18\)
- \(25\)는 소수? 합성수? 이유 → 합성수( \(5\times 5\) )
- \(19\)는 소수? → 소수
- \(12\)의 가장 큰 약수(자기 자신 제외)는? → 6
- \(10\)의 약수 중 홀수는? → 1,5
- \(30\)이 합성수인 이유를 “소수의 곱”으로 설명 → \(2\times 3\times 5\)
- 빈칸 채우기: \(16= \boxed{?}\times \boxed{?}\) (서로 다른 두 수) → \(2\times 8\) 또는 \(4\times 4\)
자주 하는 실수
- 0을 약수에 넣음 → 0은 어떤 수의 약수가 아님.
- 1을 빼먹음 → 1은 모든 수의 약수.
- 같은 약수를 두 번 씀(예: \(36\)의 \(6\)과 \(6\)) → 한 번만 적기.
- 배수와 약수를 혼동함(예: \(3\)의 약수를 \(3,6,9\)라고 적음) → 그것은 배수 목록.
공식/정리
\[
\begin{aligned}
&a=b\times c \Rightarrow b,c \text{ 는 } a \text{의 약수} \\
&1 \text{과 } a \text{는 언제나 } a \text{의 약수} \\
&\text{합성수 } \Leftrightarrow \text{ 소수들의 곱으로 표현 가능 }(\Rightarrow \text{약수 } \ge 3) \\
&\text{소수 } \Leftrightarrow \text{ 약수 }= \{1,a\}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&a=b\times c \Rightarrow b,c \text{ 는 } a \text{의 약수} \\
&1 \text{과 } a \text{는 언제나 } a \text{의 약수} \\
&\text{합성수 } \Leftrightarrow \text{ 소수들의 곱으로 표현 가능 }(\Rightarrow \text{약수 } \ge 3) \\
&\text{소수 } \Leftrightarrow \text{ 약수 }= \{1,a\}
\end{aligned}
\]