안녕하세요! 여러분의 수학 실력을 업그레이드해 줄 곰쌤입니다. 지난 시간, 우리는 곱셈 공식을 이용해 복잡한 식을 빠르게 전개하는 법을 배웠습니다. 그렇다면 곱셈 공식은 단순히 식을 펼치는 데만 사용할까요? 아닙니다! 오늘은 곱셈 공식의 진짜 힘, 바로 ‘곱셈 공식의 변형’에 대해 배워보겠습니다.
곱셈 공식의 변형이란, 이미 알고 있는 공식을 이리저리 옮기고 재조립하여 새로운 값을 유추해내는 기술입니다. 마치 레고 블록으로 자동차를 만든 뒤, 그 부품들로 비행기를 만드는 창의적인 과정과 같죠. ‘합’과 ‘곱’을 알 때 ‘제곱의 합’을 구하는 등, 숨겨진 값을 찾아내는 이 강력한 열쇠를 지금부터 함께 만들어 봅시다!
PART 1: 문자가 2개일 때의 변형
(1) 제곱의 합: $a^2+b^2$
$a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab$
$a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
$a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
문제에서 $(a+b)$의 값이 주어졌는지, $(a-b)$의 값이 주어졌는지에 따라 사용할 공식을 선택하는 것이 핵심입니다.
문제: $a+b=6$ 이고 $ab=7$ 일 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오.
풀이: 합이 주어졌으므로 첫 번째 공식을 사용합니다.
$a^2+b^2 = (a+b)^2 – 2ab = (6)^2 – 2(7) = 36 – 14 = 22$
(2) 세제곱의 합: $a^3 \pm b^3$
$a^3+b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b)$
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
세제곱 공식 $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$에서 가운데 두 항을 묶어($3ab(a+b)$) 이항한 결과입니다.
문제: $a-b=4$ 이고 $ab=2$ 일 때, $a^3-b^3$의 값을 구하시오.
풀이: 차가 주어졌으므로 두 번째 공식을 사용합니다.
$a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) = (4)^3 + 3(2)(4) = 64 + 24 = 88$
PART 2: 문자가 3개일 때의 변형
(1) 제곱의 합: $a^2+b^2+c^2$
$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 – 2(ab+bc+ca)$
$(a+b+c)^2$를 전개한 식에서 $2ab, 2bc, 2ca$만 왼쪽으로 이항하면 만들어지는 간단한 변형입니다.
문제: $a+b+c=10$ 이고 $ab+bc+ca=30$ 일 때, $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오.
풀이: 공식에 그대로 대입합니다.
$(10)^2 – 2(30) = 100 – 60 = 40$
(2) 세제곱의 합: $a^3+b^3+c^3$
$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$
가장 길었던 곱셈 공식에서 $-3abc$만 이항한 것입니다. 문제에서 주어진 조건이 무엇인지 파악하는 것이 관건입니다.
문제: $a+b+c=5$, $a^2+b^2+c^2=15$, $abc=3$ 일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오.
풀이: 공식에 필요한 $ab+bc+ca$ 값을 먼저 구해야 합니다.
$ab+bc+ca = \frac{1}{2}[(a+b+c)^2 – (a^2+b^2+c^2)] = \frac{1}{2}[5^2 – 15] = \frac{1}{2}(10) = 5$
이제 최종 공식에 대입합니다.
$(5)(15 – 5) + 3(3) = 5(10) + 9 = 50 + 9 = 59$
PART 3: 분수 형태의 특별 변형
(1) 제곱의 합: $x^2 + \frac{1}{x^2}$
$x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 – 2$
$x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$
$x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$
$a=x, b=\frac{1}{x}$라고 생각하면 $ab=1$이 되어 기본 공식의 $2ab$ 부분이 그냥 $2$로 바뀐 것입니다!
문제: $x-\frac{1}{x}=5$ 일 때, $x^2+\frac{1}{x^2}$의 값을 구하시오.
풀이: 차가 주어졌으므로 두 번째 공식을 사용합니다.
$(x-\frac{1}{x})^2 + 2 = (5)^2 + 2 = 25 + 2 = 27$
(2) 세제곱의 합: $x^3 \pm \frac{1}{x^3}$
$x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 – 3(x+\frac{1}{x})$
$x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$
$x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$
이 역시 $ab=1$이므로 $3ab(a+b)$가 $3(a+b)$ 형태로 단순해진 결과입니다.
문제: $x+\frac{1}{x}=4$ 일 때, $x^3+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오.
풀이: 합이 주어졌으므로 첫 번째 공식을 사용합니다.
$(x+\frac{1}{x})^3 – 3(x+\frac{1}{x}) = (4)^3 – 3(4) = 64 – 12 = 52$
잠깐! 변형 공식은 어떻게 만들어질까요?
곱셈 공식의 변형은 새로운 암기 대상이 아니라, 기존 공식의 항을 옮기는 ‘이항(Transposition)’만으로 간단히 유도할 수 있습니다. 예를 들어,
(a+b)² = a² + 2ab + b² 에서 +2ab를 왼쪽으로 이항하면
(a+b)² - 2ab = a² + b² 라는 변형 공식이 탄생하는 것입니다. 모든 변형 공식은 이렇게 기본 공식에서 파생된 것이니, 원리를 이해하면 잊어버려도 다시 만들어낼 수 있습니다.
📜 곱셈 공식 변형 정복을 위한 최종 요약
- 곱셈 공식의 변형은 주어진 조건(합, 차, 곱 등)을 이용해 숨겨진 값(제곱의 합, 세제곱의 합 등)을 찾는 강력한 도구입니다.
- 모든 변형 공식은 기본 곱셈 공식의 이항을 통해 유도되므로, 원리를 이해하는 것이 중요합니다.
- 특히 역수 관계인 분수 형태($x$와 $\frac{1}{x}$)는 두 수의 곱이 $1$이 되어 공식이 더 간단해지는 특징이 있습니다.
오늘 우리는 곱셈 공식을 변형하여 방정식의 숨겨진 열쇠를 찾는 법을 배웠습니다. 이제 여러분은 주어진 단서로 더 많은 것을 알아낼 수 있는 수학 탐정이 된 것입니다. 꾸준한 연습으로 이 기술을 여러분의 것으로 만드시길 바랍니다!
곱셈 공식 완벽 마스터 – 고등학교 곱셈공식과 예제로 풀이 – 고1수학