안녕하세요! 여러분의 수학 멘토, 곰쌤수학 곰쌤입니다.
복잡한 다항식의 곱셈, 혹시 아직도 분배법칙으로 하나하나 전개하고 계신가요? 오늘은 그 지루하고 실수하기 쉬운 과정을 단번에 해결해 줄 9가지 필수 곱셈 공식을, 가장 완벽한 방법으로 알려드리겠습니다.
수많은 학생들이 겪는 ‘수식 깨짐’ 현상 없이, 어떤 환경에서도 완벽하게 보이는 텍스트 기반 수식과 최고의 가독성을 위한 디자인으로 구성했습니다. 이제 각 공식의 구조를 한눈에 파악하고 문제에 적용하는 훈련을 시작해 봅시다.
곱셈공식은 고등 수학 풀이시 기초가 되는 부분입니다. 초등학교에서 힘들게 암기했던, 구구단 같은 파트입니다.
빠르게 익히는 것을 추천드립니다.
(1) 완전제곱식 (Perfect Square)
가장 기본이 되는 공식으로, ‘앞의 것 제곱, 뒤의 것 제곱, 둘이 곱해서 두 배’라는 리듬으로 기억하면 쉽습니다. 부호에 따라 가운데 항의 부호만 바뀝니다.
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
예시)
문제: $(3x-2y)^2$를 전개하시오.
풀이: $a=3x, b=2y$인 빼기(-) 공식입니다.
$(3x)^2 – 2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x^2 – 12xy + 4y^2$
(2) 합차 공식 (Difference of Squares)
가장 간단하고 강력한 공식입니다. 모양은 같고 부호만 다른 두 식의 곱은 ‘제곱 빼기 제곱’이 됩니다. 인수분해, 유리화 등에서 매우 자주 사용됩니다.
$(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$
예시)
문제: $(4x+7y)(4x-7y)$를 전개하시오.
풀이: $a=4x, b=7y$ 입니다.
$(4x)^2 – (7y)^2 = 16x^2 – 49y^2$
(3), (4) 일차식의 곱 (Product of Linear Factors)
두 일차식의 곱셈은 전개 과정의 규칙성을 공식화한 것입니다. $x$의 계수 부분은 ‘상수항의 합’ 또는 ‘바깥 곱과 안쪽 곱의 합’이 되는 점이 중요합니다.
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$
$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$
예시)
문제: $(x-7)(x+3)$를 전개하시오.
풀이: 상수항의 합은 $-7+3 = -4$, 상수항의 곱은 $(-7)(3) = -21$ 입니다.
$x^2 + (-4)x + (-21) = x^2 – 4x – 21$
(5) 세제곱 공식 (Cubic Formula)
계수가 $1, 3, 3, 1$ 순서로 나타나고, $a$의 차수는 내려가고 $b$의 차수는 올라가는 규칙을 가집니다. 빼기 공식은 부호가 (+, -, +, -) 순서로 교차됩니다.
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
예시)
문제: $(2x-y)^3$를 전개하시오.
풀이: $a=2x, b=y$인 빼기(-) 공식입니다.
$(2x)^3 – 3(2x)^2(y) + 3(2x)(y)^2 – y^3 = 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3$
(6) 세제곱의 합과 차 (Sum/Difference of Cubes)
짧은 괄호와 긴 괄호가 짝을 이루는 형태입니다. 짧은 괄호의 부호가 최종 결과의 부호를 결정하며, 긴 괄호의 가운데 부호는 항상 반대입니다.
$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$
예시)
문제: $(x-5)(x^2+5x+25)$를 전개하시오.
풀이: $a=x, b=5$인 세제곱의 차(-) 공식입니다.
$x^3 – 5^3 = x^3 – 125$
(7) 항 3개 완전제곱식
“각자 모두 제곱하고, 둘씩 짝지어 곱한 후 2배씩 해서 더하기”로 기억하세요. 괄호 안의 항이 음수일 경우 부호 처리에 주의해야 합니다.
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
예시)
문제: $(a-2b-c)^2$를 전개하시오.
풀이: $A=a, B=-2b, C=-c$로 생각하고 공식을 적용합니다.
$a^2+(-2b)^2+(-c)^2+2(a)(-2b)+2(-2b)(-c)+2(-c)(a)$
$= a^2+4b^2+c^2-4ab+4bc-2ca$
(8) 세 일차식의 곱
계수의 규칙성을 파악하는 것이 중요합니다. $x^2$의 계수는 ‘하나씩 합’, $x$의 계수는 ‘둘씩 곱해서 합’, 상수항은 ‘셋 모두 곱’ 입니다.
$(x+a)(x+b)(x+c) = x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc$
예시)
문제: $(x-1)(x+2)(x-4)$를 전개하시오.
풀이: 상수항은 $-1, 2, -4$ 입니다.
하나씩 합: $-1+2-4 = -3$
둘씩 곱의 합: $(-1)(2)+(2)(-4)+(-4)(-1) = -2-8+4 = -6$
셋의 곱: $(-1)(2)(-4) = 8$
$= x^3 – 3x^2 – 6x + 8$
(9) 최종 공식
가장 길지만 형태가 매우 독특해서 오히려 알아보기 쉽습니다. ‘세 항의 합’과 ‘제곱의 합 – 두 항 곱의 합’의 만남을 기억하세요.
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$
예시)
문제: $(x+2y-1)(x^2+4y^2+1-2xy+2y-x)$를 전개하시오.
풀이: $a=x, b=2y, c=-1$로 보고 공식 형태와 일치하는지 확인합니다.
두 번째 괄호: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$= x^2+(2y)^2+(-1)^2 – (x)(2y) – (2y)(-1) – (-1)(x)$
$= x^2+4y^2+1-2xy+2y+x$. 문제와 일치합니다.
따라서 결과는 $a^3+b^3+c^3-3abc$ 이므로,
$x^3 + (2y)^3 + (-1)^3 – 3(x)(2y)(-1) = x^3+8y^3-1+6xy$
📜 곱셈 공식 정복을 위한 마지막 조언
- 곱셈 공식은 계산을 위한 가장 빠른 지름길입니다. 두려워하지 말고 적극적으로 활용하세요.
- 각 공식의 구조를 이미지처럼 머릿속에 저장하면 문제 인식 속도가 빨라집니다.
- 결국, 공식의 진정한 주인은 반복적인 연습을 통해 손이 기억하게 만드는 사람입니다.
오늘 우리는 9개의 강력한 곱셈 공식을 시각적으로 완벽하게 정리했습니다. 이 지식들이 여러분의 수학 자신감을 한껏 끌어올려 주길 바랍니다. 정말 수고 많으셨습니다!