안녕하세요. 곰쌤수학 곰쌤입니다.
수학의 기초를 다지는 가장 중요한 개념 중 하나인 ‘다항식’에 대해 알아보겠습니다. 많은 학생들이 다양한 용어 때문에 초반에 어려움을 느끼지만, 각 개념을 차근차근 분해해서 이해하면 전혀 어렵지 않습니다. 이 글에서는 다항식을 구성하는 모든 요소를 상세히 설명하고, 복잡한 식을 간단하게 정리하는 방법까지 마스터할 수 있도록 도와드리겠습니다.
1. 다항식의 기본 구성 요소
(1) 항 (Term) 과 상수항 (Constant Term)
항이란, 덧셈(+)과 뺄셈(-)으로 연결된 식의 각 부분을 말합니다. 각 항은 수 또는 문자의 곱으로만 이루어져 있습니다.
이 중에서 문자 없이 숫자로만 이루어진 항을 특별히 상수항이라고 부릅니다.
예시) 다항식 \( 3x^2 – 5x + 1 \)
- 이 다항식의 항은 \(3x^2\), \(-5x\), \(1\) 이렇게 3개입니다. (부호까지 포함)
- 이 중에서 상수항은 1입니다.
(2) 단항식 (Monomial) 과 다항식 (Polynomial)
단항식은 항이 딱 한 개뿐인 식을 말합니다. (예: \(2x\), \(3xy\))
다항식은 하나 이상의 항의 합으로 이루어진 식입니다. 중요한 점은, 단항식도 항이 1개인 다항식으로 본다는 것입니다.
(3) 계수 (Coefficient) 와 차수 (Degree)
계수는 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분을 의미합니다. 주로 문자 앞에 곱해진 수를 말합니다.
차수는 항에서 특정 문자가 곱해진 개수(즉, 지수)를 의미합니다.
💡 한눈에 보기: 항 \(3x^2\) 분석
- \(x^2\)의 계수는 3 입니다.
- 이 항의 차수는 2 입니다.
다항식 전체의 차수는 각 항의 차수 중 가장 큰 값으로 정합니다. 예를 들어, \(3x^2 – 5x + 1\)의 각 항의 차수는 2, 1, 0 이므로, 이 다항식은 2차식입니다.
(4) 동류항 (Like Terms)
문자와 차수가 각각 모두 같은 항들을 말합니다. 동류항끼리는 덧셈과 뺄셈 계산을 통해 하나의 항으로 합칠 수 있습니다.
예시) 동류항 찾기
- \(3x\)와 \(-5x\) → 문자가 x, 차수가 1로 같으므로 동류항 (O)
- \(3x\)와 \(3x^2\) → 차수가 1과 2로 다르므로 동류항 (X)
2. 다항식의 정리 방법
복잡하게 흩어진 다항식을 계산하고 분석하기 쉽도록 깔끔하게 정돈하는 과정입니다.
(1) 동류항끼리 모아 정리하기
다항식을 정리하는 가장 첫 번째 단계는, 흩어져 있는 동류항을 찾아 계수끼리 계산하는 것입니다.
(2) 차수 순서대로 나열하기
동류항 계산이 끝났다면, 항들을 차수 순서에 따라 보기 좋게 배열해야 합니다. 여기에는 두 가지 방법이 있습니다.
내림차순 정리
차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 정리하는 방법입니다. (가장 일반적인 정리 방법)
\( \rightarrow \quad 2x^2 + 3x – 5 \)
오름차순 정리
차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리하는 방법입니다.
\( \rightarrow \quad -5 + 3x + 2x^2 \)
✏️ 실력 확인 예제 문제
다항식 \(A = 4x^2 – 2 + 5x – 2x^2 – x\) 에 대하여 다음 물음에 답하시오.
1. 식 A를 동류항끼리 계산하여 간단히 하시오.
\(x^2\) 항: \(4x^2 – 2x^2 = (4-2)x^2 = 2x^2\)
\(x\) 항: \(5x – x = (5-1)x = 4x\)
상수항: \(-2\)
→ 따라서, \(A = 2x^2 + 4x – 2\)
2. 간단히 한 식 A를 내림차순과 오름차순으로 각각 정리하시오.
내림차순 (높은 차수부터): \(2x^2 + 4x – 2\)
오름차순 (낮은 차수부터): \(-2 + 4x + 2x^2\)
💡 최종 마무리
- 다항식의 용어(항, 계수, 차수, 상수항, 동류항)는 수학의 기본적인 약속이므로 정확히 암기해야 합니다.
- 복잡한 식을 보면 가장 먼저 동류항을 찾아 계산하는 습관을 들이세요.
- 식을 정리할 때는 특별한 요구가 없다면 일반적으로 내림차순으로 정리합니다.