안녕하세요! 고등학교 1학년 수학의 첫걸음을 떼고 있는 학생 여러분! ‘다항식의 연산’ 단원에서 여러분의 인내심을 시험하는 첫 번째 관문이 바로 복잡한 다항식의 전개일 겁니다.
괄호가 두 개, 세 개 늘어날수록 모든 항을 일일이 분배 법칙으로 전개하는 것은 시간도 오래 걸리고, 사소한 계산 실수 하나로 답이 틀리기 십상입니다. 하지만 만약 문제에서 ‘전개한 식 전체’가 아닌 ‘특정 항의 계수’만을 요구한다면 어떨까요?
오늘은 이 지루하고 비효율적인 ‘전개 노가다’에서 여러분을 해방시켜 줄 아주 스마트하고 효율적인 방법을 소개해 드리려고 합니다. 분배법칙의 진짜 의미를 파악하고 필요한 항만 ‘저격’해서 계수를 구하는 비법을 완벽하게 마스터해 봅시다.
이 기술 하나만 익혀도 여러분의 다항식 문제 풀이 속도와 정확성은 극적으로 향상될 것입니다.
이번 시간의 내용은 실수만 없다면 꼭 맞춰야 하는 파트입니다.
🎯 핵심 원리: ‘하나씩 뽑아 곱한다’는 관점의 전환
우리가 다항식을 전개할 때 사용하는 분배법칙은 사실 ‘각 괄호에서 대표선수 한 명씩을 뽑아 곱한 결과들을 모두 더하는 과정’과 같습니다. 예를 들어, 간단한 식 $(a+b)(c+d)$를 생각해 봅시다. 이 식을 전개하면 $ac + ad + bc + bd$가 됩니다.
- $ac$ : 첫 번째 괄호에서 $a$를, 두 번째 괄호에서 $c$를 뽑아 곱한 것
- $ad$ : 첫 번째 괄호에서 $a$를, 두 번째 괄호에서 $d$를 뽑아 곱한 것
- $bc$ : 첫 번째 괄호에서 $b$를, 두 번째 괄호에서 $c$를 뽑아 곱한 것
- $bd$ : 첫 번째 괄호에서 $b$를, 두 번째 괄호에서 $d$를 뽑아 곱한 것
이 원리를 이해했다면, 우리는 모든 조합을 다 계산할 필요가 없다는 결론에 도달합니다. 우리가 원하는 특정 항(예: $x^3$)이 만들어지는 ‘선수들의 조합’만 찾아내면 되는 것입니다.
⭐ 특정 항의 계수를 구하는 핵심 전략
다항식 $P(x)$와 $Q(x)$의 곱에서 $x^n$의 계수를 구하려면:
다항식 $P(x)$와 $Q(x)$의 곱에서 $x^n$의 계수를 구하려면:
- $P(x)$에서 임의의 항 $ax^i$를 하나 선택한다.
- $Q(x)$에서 $ax^i$와 곱했을 때 $x^n$이 될 수 있는 항, 즉 $bx^j$ (단, $i+j=n$)을 찾는다.
- 찾아낸 모든 조합 $(ax^i)(bx^j) = abx^n$들을 구한다.
- 각 조합에서 나온 계수($ab$)들을 모두 더한다. 그 합이 바로 $x^n$의 최종 계수이다.
이 전략의 핵심은 ‘목표를 설정하고(나는 $x^n$을 만들겠다!), 그 목표를 달성할 수 있는 조합만 선별적으로 계산하는 것’입니다.
✏️ 실력 다지기: 문제 풀이로 전략 적용하기
문제: 다항식 $(x^3 + 2x^2 – x + 4)(2x^2 + 3x – 5)$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 구하여라.
이제 위에서 배운 ‘선수 뽑기’ 전략을 단계별로 적용하여 이 문제를 효율적으로 해결해 보겠습니다.
Step 1: 목표 설정하기
우리의 목표는 두 괄호에서 각각 항을 하나씩 뽑아 곱했을 때, 그 결과가 $ax^3$ 꼴이 되는 모든 조합을 찾는 것입니다. 즉, (첫 번째 괄호의 항 $x^i$) $\times$ (두 번째 괄호의 항 $x^j$)을 했을 때, 지수의 합 $i+j$가 3이 되어야 합니다.
Step 2: 가능한 모든 조합 체계적으로 찾기
첫 번째 괄호 $(x^3 + 2x^2 – x + 4)$의 항들을 기준으로, 두 번째 괄호 $(2x^2 + 3x – 5)$에서 필요한 짝을 찾아봅시다. 실수를 줄이기 위해 한쪽 괄호의 항을 순서대로 하나씩 검토하는 것이 좋습니다.
1. 첫 괄호에서 $x^3$을 뽑았을 때:
$x^3$에 무언가를 곱해서 $x^3$을 만들려면, 지수가 0인 항, 즉 상수항이 필요합니다.
두 번째 괄호에서 상수항은 $-5$입니다.
$\rightarrow (x^3) \times (-5) = \boldsymbol{-5x^3}$
2. 첫 괄호에서 $2x^2$을 뽑았을 때:
$x^2$에 무언가를 곱해서 $x^3$을 만들려면, 지수가 1인 항($x$)이 필요합니다.
두 번째 괄호에서 $x$항은 $3x$입니다.
$\rightarrow (2x^2) \times (3x) = \boldsymbol{6x^3}$
3. 첫 괄호에서 $-x$를 뽑았을 때:
$x^1$에 무언가를 곱해서 $x^3$을 만들려면, 지수가 2인 항($x^2$)이 필요합니다.
두 번째 괄호에서 $x^2$항은 $2x^2$입니다.
$\rightarrow (-x) \times (2x^2) = \boldsymbol{-2x^3}$
4. 첫 괄호에서 $4$를 뽑았을 때:
상수항(지수 0)에 무언가를 곱해서 $x^3$을 만들려면, 지수가 3인 항($x^3$)이 필요합니다.
두 번째 괄호에는 $x^3$항이 없습니다. 따라서 이 경우에는 $x^3$을 만들 수 없습니다.
Step 3: 계수들을 모두 더하기
Step 2에서 찾아낸 $x^3$항은 $-5x^3$, $6x^3$, $-2x^3$ 이렇게 세 가지입니다. 이제 이 항들의 계수만을 모두 더해줍니다.
$$ (\text{최종 계수}) = (-5) + (6) + (-2) $$
$$ = 1 + (-2) = -1 $$
최종 정답: 주어진 다항식의 전개식에서 $x^3$의 계수는 -1 입니다.
✨ 최종 정리 및 마무리
오늘은 복잡한 다항식의 전개식에서 우리가 원하는 특정 항의 계수만을 효율적으로 찾아내는 방법에 대해 배워보았습니다. 이 방법은 단순히 계산 속도를 높이는 기술을 넘어, 다항식 곱셈의 구조적인 원리를 이해하는 과정입니다.
핵심 전략을 다시 한번 되새겨 봅시다.
- 목표 설정: 내가 만들어야 할 항의 차수($x^n$)를 명확히 한다.
- 체계적인 탐색: 한쪽 괄호의 항을 기준으로, 목표 차수를 만들 수 있는 다른 쪽 괄호의 짝을 찾는다.
- 선별적 계산: 찾아낸 조합들만 곱셈하여 계수를 구한다.
- 최종 합산: 구해진 모든 계수들을 더한다.
이러한 사고방식은 나중에 배우게 될 ‘이항정리’와 같은 더 복잡한 계수 찾기 문제의 기초가 됩니다. 지금부터 불필요한 전개를 피하고, 필요한 정보만 ‘선택’하고 ‘조합’하는 연습을 꾸준히 해보시길 바랍니다. 수학 공부의 효율성과 재미를 동시에 잡을 수 있을 것입니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!
다항식 곱셈, ‘공평한 분배’ 원칙 하나로 완벽 마스터하기 -고1수학-다항식3
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