안녕하세요. 곰쌤수학 곰쌤입니다.
도형의 방정식을 공부할 때 가장 먼저 배우게 되는 개념이 바로 ‘두 점 사이의 거리’입니다.
도형의 방정식을 공부할 때 가장 먼저 배우게 되는 개념이 바로 ‘두 점 사이의 거리’입니다.
두 점 사이의 거리 공식은 앞으로 배우게 될 원의 방정식, 도형의 이동 등 다양한 개념의 바탕이 되는 매우 중요한 공식입니다.
오늘은 1차원 수직선부터 2차원 좌표평면까지, 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 원리부터 공식 암기 팁까지 완벽하게 정리해 드리겠습니다.
💡 수직선 거리 공식
수직선 위의 두 점 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$는 다음과 같습니다.
$\overline{AB} = |x_2 – x_1| = |x_1 – x_2|$
예시) 수직선 위의 두 점 A(-2), B(5) 사이의 거리
두 점의 좌표를 공식에 대입하면 간단하게 거리를 구할 수 있습니다.
- $|5 – (-2)| = |5 + 2| = 7$
- $|(-2) – 5| = |-7| = 7$
어떤 순서로 빼든 결과는 7로 동일합니다.
2. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
2차원 좌표평면에서의 거리 공식은 피타고라스 정리로부터 유도됩니다. 두 점 A($x_1, y_1$), B($x_2, y_2$)를 빗변의 양 끝점으로 하는 직각삼각형을 상상해 보세요. 이 직각삼각형의 밑변의 길이는 x좌표의 차이($|x_2 – x_1|$)이고, 높이는 y좌표의 차이($|y_2 – y_1|$)가 됩니다.
피타고라스 정리에 따라 $(빗변)^2 = (밑변)^2 + (높이)^2$ 이므로, 두 점 사이의 거리(빗변)는 밑변과 높이의 제곱의 합에 루트를 씌워서 구할 수 있습니다.
💡 좌표평면 거리 공식
좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$는 다음과 같습니다.
$\overline{AB} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
(참고) 제곱을 하기 때문에 $(x_2-x_1)^2 = (x_1-x_2)^2$ 이므로 좌표를 빼는 순서는 상관 없습니다.
(참고) 원점과 한 점 사이의 거리
좌표평면 거리 공식에서 한 점이 원점 O(0, 0)인 특별한 경우입니다. 공식에 $x_1=0, y_1=0$을 대입하면 공식이 더 간단해집니다.
원점 O(0, 0)과 점 A($x_1, y_1$) 사이의 거리
$\overline{OA} = \sqrt{(x_1 – 0)^2 + (y_1 – 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
✏️ 실력 확인 예제 문제
다음 두 점 사이의 거리를 구하시오.
1. 수직선 위의 두 점 A(-8), B(-3)공식에 따라 두 좌표의 차에 절댓값을 취합니다.
$\overline{AB} = |(-3) – (-8)| = |-3 + 8| = |5| = 5$
$\overline{AB} = |(-3) – (-8)| = |-3 + 8| = |5| = 5$
2. 좌표평면 위의 두 점 C(2, 1), D(5, 5)
피타고라스 정리를 이용한 거리 공식을 적용합니다.
$\overline{CD} = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25} = 5$
💡 최종 마무리
- 수직선(1차원) 거리: 두 좌표의 차에 절댓값을 씌웁니다. $\rightarrow |x_2 – x_1|$
- 좌표평면(2차원) 거리: 피타고라스 정리를 떠올리세요. x좌표 차이의 제곱과 y좌표 차이의 제곱을 더한 후 루트를 씌웁니다. $\rightarrow \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
- 거리는 항상 0 또는 양수 값을 가집니다. 계산 결과가 음수가 나왔다면 실수가 없는지 확인해야 합니다.
- 두 점 사이의 거리 공식은 도형의 성질을 파악하거나 두 도형 사이의 관계를 분석하는 데 기본적으로 사용되므로 반드시 암기해야 합니다.