핵심 요약: ‘배수’는 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 처럼 정수배하여 커지는 수입니다. 마치 구구단처럼요! 약수와는 뗄 수 없는 짝꿍 관계로, \(A = B \times C\)일 때 \(A\)는 \(B\)의 배수, \(B\)는 \(A\)의 약수가 됩니다. 범위 안의 배수 개수를 셀 때는 ‘나눗셈’을 이용하면 아주 편리합니다!
\(n\)의 배수 개수 = (범위 마지막 수 \( \div n \))의 몫 – (범위 시작 직전 수 \( \div n \))의 몫
기본기 다지기 문제
20보다 크고 100보다 작은 자연수 중에서 7의 배수는 모두 몇 개인지 구해보세요.
친절한 단계별 풀이
Step 1. ‘7의 배수’가 뭘까?
먼저 ‘7의 배수’가 무엇인지 알아야겠죠? 아주 쉬워요. 7단 구구단을 떠올리면 됩니다. \(7 \times 1 = 7\), \(7 \times 2 = 14\), \(7 \times 3 = 21\), … 이렇게 7에 자연수를 곱해서 나오는 모든 수가 바로 7의 배수입니다.
먼저 ‘7의 배수’가 무엇인지 알아야겠죠? 아주 쉬워요. 7단 구구단을 떠올리면 됩니다. \(7 \times 1 = 7\), \(7 \times 2 = 14\), \(7 \times 3 = 21\), … 이렇게 7에 자연수를 곱해서 나오는 모든 수가 바로 7의 배수입니다.
Step 2. 범위 안의 ‘첫 번째’ 배수 찾기
문제에서 “20보다 큰” 7의 배수를 찾아야 해요. 7의 배수를 차례로 나열해볼까요? 7, 14, 21, 28…
\(7 \times 2 = 14\)는 20보다 작으니 탈락! \(7 \times 3 = 21\)은 20보다 크니, 우리가 찾는 첫 번째 주자입니다!
문제에서 “20보다 큰” 7의 배수를 찾아야 해요. 7의 배수를 차례로 나열해볼까요? 7, 14, 21, 28…
\(7 \times 2 = 14\)는 20보다 작으니 탈락! \(7 \times 3 = 21\)은 20보다 크니, 우리가 찾는 첫 번째 주자입니다!
Step 3. 범위 안의 ‘마지막’ 배수 찾기
이번엔 “100보다 작은” 가장 큰 7의 배수를 찾아봅시다. 100을 7로 직접 나눠보는 게 가장 빨라요.
\(100 \div 7 = 14\) 이고 나머지가 2가 남네요. 이 말은 \(7 \times 14 = 98\)이 100 안에 들어가는 가장 큰 7의 배수라는 뜻입니다. (\(7 \times 15 = 105\)는 100을 넘어가니 안 되겠죠?)
이번엔 “100보다 작은” 가장 큰 7의 배수를 찾아봅시다. 100을 7로 직접 나눠보는 게 가장 빨라요.
\(100 \div 7 = 14\) 이고 나머지가 2가 남네요. 이 말은 \(7 \times 14 = 98\)이 100 안에 들어가는 가장 큰 7의 배수라는 뜻입니다. (\(7 \times 15 = 105\)는 100을 넘어가니 안 되겠죠?)
Step 4. 총 개수 세기!
자, 이제 정리해봅시다. 우리가 찾는 수는 \(7 \times 3 = 21\)부터 \(7 \times 14 = 98\)까지입니다.
즉, \(7 \times \mathbf{3}, 7 \times \mathbf{4}, \dots, 7 \times \mathbf{14}\) 의 개수를 세면 되는 거죠. 3부터 14까지 자연수가 몇 개일까요?
이럴 땐 `(마지막 수) – (첫 수) + 1` 공식을 쓰면 절대 헷갈리지 않아요!
\[ 14 – 3 + 1 = \mathbf{12} \]
따라서 정답은 12개 입니다.
자, 이제 정리해봅시다. 우리가 찾는 수는 \(7 \times 3 = 21\)부터 \(7 \times 14 = 98\)까지입니다.
즉, \(7 \times \mathbf{3}, 7 \times \mathbf{4}, \dots, 7 \times \mathbf{14}\) 의 개수를 세면 되는 거죠. 3부터 14까지 자연수가 몇 개일까요?
이럴 땐 `(마지막 수) – (첫 수) + 1` 공식을 쓰면 절대 헷갈리지 않아요!
\[ 14 – 3 + 1 = \mathbf{12} \]
따라서 정답은 12개 입니다.
대표유형 1 — 공배수 찾기
1부터 100까지의 자연수 중에서 4의 배수이면서 동시에 6의 배수인 수는 모두 몇 개인가요?
해설(단계별)
- ‘4와 6의 공통된 배수(공배수)’를 묻는 문제입니다.
- 4와 6의 최소공배수를 먼저 구해야 합니다. 최소공배수는 12입니다.
- 결국 이 문제는 “1부터 100까지 12의 배수가 몇 개?”라는 질문과 같습니다.
- \(100 \div 12 = 8\) 이고 나머지가 4. 따라서 몫인 8개가 정답입니다.
정답 : 8개
대표유형 2 — ‘또는’ 조건의 배수
1부터 50까지의 자연수 중에서 3의 배수 또는 5의 배수의 개수를 구하여라.
해설(단계별)
- 3의 배수 개수: \(50 \div 3 = 16\) … → 16개
- 5의 배수 개수: \(50 \div 5 = 10\) → 10개
- 주의! 3의 배수이면서 5의 배수인 수(즉, 15의 배수)가 두 번 계산되었어요. 이 중복을 빼줘야 합니다.
- 15의 배수 개수: \(50 \div 15 = 3\) … → 3개
- (3의 배수 개수) + (5의 배수 개수) – (15의 배수 개수) = \(16 + 10 – 3 = \mathbf{23}\)
정답 : 23개
대표유형 3 — 특정 배수 제외하기
1부터 100까지의 자연수 중에서, 3의 배수이지만 4의 배수는 아닌 수의 개수를 구하여라.
해설(단계별)
- 전체 ‘3의 배수’ 개수에서, 조건에 맞지 않는 수를 빼는 방식으로 접근합니다.
- 1부터 100까지 3의 배수의 개수: \(100 \div 3 = 33\) … → 33개
- 제외할 수는 ‘3의 배수이면서 4의 배수인 수’입니다. 즉, 3과 4의 공배수인 12의 배수입니다.
- 1부터 100까지 12의 배수의 개수: \(100 \div 12 = 8\) … → 8개
- (전체 3의 배수 개수) – (겹치는 12의 배수 개수) = \(33 – 8 = \mathbf{25}\)
정답 : 25개
마무리 개념 정리
- 배수: 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 한 수. (곱셈/구구단)
- 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수. (나눗셈)
- 공배수: 둘 이상의 수의 공통된 배수. 최소공배수의 배수들과 같습니다.
- 개수 세기: 범위가 주어지면 `(마지막 수 ÷ n) – (시작 직전 수 ÷ n)` 공식을 활용하면 편리합니다!
- 조건부 배수: ‘A이면서 B가 아닌’ 경우는 (A의 개수) – (A와 B의 공배수 개수)로 계산합니다.
자주 하는 실수 TOP 3
- 범위 조건 확인 실수: ‘초과/이상’, ‘미만/이하’ 조건을 꼼꼼히 읽지 않아 첫 수나 마지막 수를 잘못 구하는 경우.
- 개수 계산 실수: 3부터 14까지 개수를 셀 때, \(14 – 3 = 11\)이라고만 계산해서 틀리는 경우. (+1을 꼭 기억하세요!)
- ‘또는’ 문제에서 중복되는 공배수 부분을 빼지 않는 실수.