안녕하세요. 곰쌤수학 곰쌤입니다.
지난 시간 배운 합의 법칙과 곱의 법칙을 기억하시나요? 오늘은 이 법칙들을 바탕으로 경우의 수의 꽃이라 불리는 ‘순열(Permutation)’에 대해 배워보겠습니다. 순열은 ‘반장, 부반장 뽑기’, ‘선수들의 달리기 순서 정하기’처럼 단순히 뽑는 것을 넘어 순서까지 고려해야 하는 모든 상황에 적용되는 강력한 도구입니다.
‘P’라는 기호와 ‘!’라는 팩토리얼 기호 때문에 어렵게 느껴질 수 있지만, 원리부터 차근차근 이해하면 전혀 어렵지 않습니다. 오늘 순열의 개념부터 공식, 계산법까지 완벽하게 마스터해 보세요.
1. 순열(Permutation)이란? – 순서가 중요하다!
순열이란, 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 중복 없이 골라 순서를 고려하여 일렬로 나열하는 것을 의미합니다. 순열에서 가장 중요한 키워드는 바로 ‘순서’입니다. 똑같은 대상을 뽑더라도 순서가 다르면 다른 경우로 취급하는 것이 핵심입니다.
예를 들어, A, B, C 세 학생 중 반장과 부반장을 뽑는다고 해봅시다.
- (반장: A, 부반장: B) 와 (반장: B, 부반장: A)는 뽑힌 사람은 같지만 직책이 다르므로 다른 경우입니다.
이처럼 순서가 의미를 가질 때, 우리는 순열을 사용합니다.
💡 순열의 기호: $_n\text{P}_r$
서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 순열의 수를 기호로 $_n\mathrm{P}_r$ 와 같이 나타냅니다. ‘P’는 순열을 의미하는 ‘Permutation’의 첫 글자입니다.
- $\boldsymbol{n}$: 순열을 계산할 전체 대상의 개수 (서로 다른 것의 개수)
- $\boldsymbol{r}$: 그중에서 선택하여 나열할 개수 (택하는 것의 개수)
따라서 ‘서로 다른 5명 중 3명을 뽑아 줄을 세우는 경우의 수’는 기호로 $_5\mathrm{P}_3$라고 씁니다.
2. 순열의 수 계산하기
순열의 수는 곱의 법칙을 이용하여 간단하게 계산할 수 있습니다. $_n\mathrm{P}_r$는 $n$부터 시작해서 1씩 작아지는 수를 $r$개 곱하면 됩니다.
💡 순열 계산 공식 (1)
$$ _n\mathrm{P}_r = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) $$
($n$부터 시작하여 $r$개의 숫자를 차례로 곱함)
예시) $_5\mathrm{P}_3$ 계산하기
$_5\mathrm{P}_3$는 ‘서로 다른 5개 중 3개를 뽑아 나열’하는 경우의 수입니다. 이는 3개의 빈자리에 5개의 대상을 순서대로 놓는 것과 같습니다.
- 첫 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수: 5가지
- 두 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수: 첫 번째 자리에 온 것을 제외한 4가지
- 세 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수: 앞의 두 자리에 온 것을 제외한 3가지
이는 연속적으로 일어나는 사건이므로 곱의 법칙에 의해,
$_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$가지 입니다.
(1) 팩토리얼(!)을 이용한 계산
순열을 더 간결하게 표현하기 위해 팩토리얼(Factorial) 또는 계승이라고 부르는 기호 ‘!’를 사용합니다. $n!$은 $n$부터 1까지의 모든 자연수를 곱한 것을 의미합니다. (예: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$)
순열 공식을 팩토리얼을 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.
💡 순열 계산 공식 (2) – 팩토리얼
$$ _n\mathrm{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!} $$
왜 이 공식이 성립할까요? 위의 $_5\mathrm{P}_3$ 예시를 다시 보겠습니다.
$_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = \frac{(5 \times 4 \times 3) \times (2 \times 1)}{(2 \times 1)} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5-3)!}$
이처럼 분자와 분모에 같은 수를 곱하여 팩토리얼 형태로 만들어 줄 수 있습니다.
3. 이것만은 꼭! 특별한 순열 값들
순열 계산과 개념 이해를 위해 약속된 몇 가지 특별한 값이 있습니다. 꼭 기억해 두세요.
- $_n\mathrm{P}_n$ (n개 중 n개를 모두 나열하는 경우)
$n$개를 모두 나열하는 경우의 수는 $n$부터 1까지 모두 곱하는 것과 같으므로 $n!$입니다.$$ _n\mathrm{P}_n = n! $$(예: 4명을 한 줄로 세우는 방법 = $_4\mathrm{P}_4 = 4! = 24$가지)
- $_n\mathrm{P}_0$ (n개 중 0개를 나열하는 경우)
아무것도 뽑지 않는 경우는 ‘그 상태 그대로 두는’ 한 가지 방법이 있다고 약속합니다.$$ _n\mathrm{P}_0 = 1 $$(팩토리얼 공식에 대입해도 $\frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$로 성립합니다.)
- $0!$ (0 팩토리얼)
수학적 공식의 일관성을 위해 0!은 1로 약속합니다. $_n\mathrm{P}_n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$ 이 $n!$이 되려면 $0!$은 반드시 1이어야 합니다.$$ 0! = 1 $$
✏️ 실력 확인 예제 문제
1. 7명의 축구 선수 중 3명을 뽑아 각각 공격수, 미드필더, 수비수로 임명하는 경우의 수는?
서로 다른 7명 중 3명을 뽑아 ‘순서를 고려하여’ (각각 다른 포지션이므로) 나열하는 것과 같습니다.
따라서 순열 $_7\mathrm{P}_3$를 계산합니다.
$_7\mathrm{P}_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$가지
2. 5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 모두 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는?
서로 다른 5개의 숫자를 모두 사용하여 한 줄로 나열하는 경우입니다.
따라서 $_5\mathrm{P}_5$를 계산합니다.
$_5\mathrm{P}_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$개
💡 최종 마무리
- 순열(Permutation)은 ‘순서’가 핵심입니다. ‘뽑아서 나열한다’, ‘줄 세운다’, ‘자리를 정한다’ 등의 표현이 나오면 순열을 떠올리세요.
- 기호 $_n\mathrm{P}_r$는 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 뽑아 나열하는 경우의 수를 의미합니다.
- 계산법 1: $_n\mathrm{P}_r$ = $n$부터 1씩 줄여가며 $r$개를 곱한다. (직관적이고 빠른 계산에 유리)
- 계산법 2: $_n\mathrm{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ (공식을 이용한 증명이나 복잡한 계산에 유리)
- 단순히 뽑기만 하고 순서를 고려하지 않는 경우는 다음에 배울 ‘조합(Combination)‘입니다. 순열과 조합의 차이를 명확히 구분하는 것이 중요합니다.
경우의 수 – 합의 법칙과 곱의 법칙 완벽 정리 – 확률과 통계 1