🔑 핵심 원칙:
- 미지수 설정: 문제에서 구하려는 기간(예: 몇 개월 후)을 \(x\)개월 (또는 \(x\)년 등)로 놓거나, 특정 예금액을 묻는 경우 그 금액을 \(x\)로 놓습니다.
- 미래 예금액 계산: 특정 기간 후의 예금액은 현재 예금액에 추가로 저축한 총액을 더하거나, 인출한 총액을 빼서 계산합니다.
- 문제에 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세우고 \(x\) 값을 구합니다.
💡 \(x\)개월 후의 예금액 계산 공식
일정 기간 동안 꾸준히 예금할 때, 미래의 예금액을 계산하는 기본 공식은 다음과 같습니다.
\(x\)개월 후의 예금액
$$ (\text{\(x\)개월 후의 예금액}) = (\text{현재 예금액}) + (\text{매달 예금액}) \times x $$
- 현재 예금액: 처음 가지고 있던 돈의 액수입니다.
- 매달 예금액: 매월 추가로 저축하는 돈의 액수입니다. (만약 매달 돈을 꺼내 쓴다면 이 부분은 빼기가 됩니다.)
- \(x\): 개월 수를 나타내는 미지수 또는 주어진 기간입니다.
이 공식은 매년, 매주 등 다른 기간 단위에도 동일하게 적용될 수 있습니다. (예: \(x\)년 후의 예금액 = 현재 예금액 + (매년 예금액) \(\times x\))
💡 문제 풀이 단계
- 미지수 설정:
- 몇 개월(또는 몇 년) 후에 특정 조건이 만족되는지 묻는 경우, 그 기간을 \(x\)개월(또는 \(x\)년)로 설정합니다.
- 특정 금액을 묻는 경우, 그 금액을 \(x\)로 설정할 수도 있습니다.
- 각 사람/계좌의 \(x\)개월 후 예금액 표현:
- 위의 공식을 사용하여 관련된 모든 사람 또는 계좌의 \(x\)개월 후 예금액을 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 조건 (예: “두 사람의 예금액이 같아진다”, “A의 예금액이 B의 예금액의 2배가 된다”, “총 예금액이 특정 금액이 된다” 등)을 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 문제의 조건에 맞는지 (예: 기간이 음수가 아닌지, 현실적인 값인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 몇 개월 후인지, 그때의 예금액은 얼마인지 등)
- 모든 조건에 대입하여 검산합니다.
✅ 예제 1: 두 사람의 예금액이 같아지는 경우
문제: 현재 형의 예금액은 30,000원이고 동생의 예금액은 12,000원이다. 다음 달부터 형은 매달 3,000원씩, 동생은 매달 6,000원씩 예금한다면, 몇 개월 후에 형과 동생의 예금액이 같아지는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 형과 동생의 예금액이 같아지는 것을 \(x\)개월 후라고 합니다.
- \(x\)개월 후의 예금액 표현:
- \(x\)개월 후 형의 예금액: \(30000 + 3000x\)원
- \(x\)개월 후 동생의 예금액: \(12000 + 6000x\)원
- 방정식 세우기: “\(x\)개월 후 형의 예금액과 동생의 예금액이 같다”
$$ 30000 + 3000x = 12000 + 6000x $$
- 방정식 풀기:
$$ 30000 – 12000 = 6000x – 3000x $$
$$ 18000 = 3000x $$
$$ x = \frac{18000}{3000} = 6 $$
- 답 구하기 및 확인:\(x=6\)이므로, 6개월 후입니다.확인 (6개월 후): 형 예금액 = \(30000 + 3000 \times 6 = 48000\)원, 동생 예금액 = \(12000 + 6000 \times 6 = 48000\)원. (일치)
답: 6개월 후이다.
✅ 예제 2: 예금액의 배수 관계
문제: A는 현재 50,000원을 가지고 있고, B는 10,000원을 가지고 있다. A는 매주 2,000원씩, B는 매주 4,000원씩 저금한다면, B의 저금액이 A의 저금액의 절반(\(\frac{1}{2}\)배)이 되는 것은 몇 주 후인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: B의 저금액이 A의 저금액의 절반이 되는 것을 \(x\)주 후라고 합니다.
- \(x\)주 후의 저금액 표현:
- \(x\)주 후 A의 저금액: \(50000 + 2000x\)원
- \(x\)주 후 B의 저금액: \(10000 + 4000x\)원
- 방정식 세우기: “\(x\)주 후 B의 저금액 = (\(x\)주 후 A의 저금액) \(\times \frac{1}{2}\)”
$$ (10000 + 4000x) = \frac{1}{2}(50000 + 2000x) $$
- 방정식 풀기:
$$ 2(10000 + 4000x) = 50000 + 2000x $$
$$ 20000 + 8000x = 50000 + 2000x $$
$$ 6000x = 30000 $$
$$ x = \frac{30000}{6000} = 5 $$
- 답 구하기 및 확인:\(x=5\)이므로, 5주 후입니다.확인 (5주 후): A 저금액 = \(50000 + 2000 \times 5 = 60000\)원, B 저금액 = \(10000 + 4000 \times 5 = 30000\)원. B는 A의 절반. (일치)
답: 5주 후이다.
✅ 예제 3: 목표 금액 달성
문제: 지혜는 현재 8,000원의 예금이 있다. 매일 500원씩 저금하여 20,000원을 만들려고 한다. 며칠 후에 목표 금액을 달성할 수 있는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 목표 금액을 달성하는 것을 \(x\)일 후라고 합니다.
- \(x\)일 후의 예금액 표현: \(8000 + 500x\)원
- 방정식 세우기: “\(x\)일 후의 예금액이 20,000원이 된다”
$$ 8000 + 500x = 20000 $$
- 방정식 풀기:
$$ 500x = 20000 – 8000 $$
$$ 500x = 12000 $$
$$ x = \frac{12000}{500} = 24 $$
- 답 구하기 및 확인:\(x=24\)이므로, 24일 후입니다.확인 (24일 후): 예금액 = \(8000 + 500 \times 24 = 8000 + 12000 = 20000\)원. (일치)
답: 24일 후이다.
💡 마무리 정리:
- 예금 문제의 기본 공식 \( (\text{미래 예금액}) = (\text{현재 예금액}) + (\text{단위 기간당 예금액}) \times (\text{기간}) \)을 정확히 이해하고 적용하는 것이 중요합니다.
- 문제에서 “매달”, “매주”, “매년” 등 기간의 단위를 잘 확인하고 미지수 \(x\)의 단위와 일치시켜야 합니다.
- 돈을 인출하는 경우에는 “(단위 기간당 예금액)” 부분에 음수 값을 적용하거나, 빼기로 처리해야 합니다.
- 방정식을 세울 때, 등호(=)의 양쪽에 어떤 예금액(또는 조건)이 와야 하는지 문제의 내용을 잘 파악해야 합니다.