많은 학생이 ‘경우의 수’ 단원, 특히 원순열에서 특정 조건이 붙는 응용 문제를 까다로워합니다.
그중에서도 가장 대표적인 유형이 바로 ‘이웃하여 앉는 경우의 수’를 구하는 문제죠.
오늘은 원순열의 기본 개념부터 ‘이웃하는’ 조건이 붙었을 때 어떻게 문제를 해결해야 하는지, 그 핵심 전략을 유사 문제를 통해 단계별로 완벽하게 파헤쳐 보겠습니다!
🎯 원순열, 핵심 개념부터!
먼저 원순열이 무엇인지, 그리고 ‘이웃하는 경우’는 어떻게 접근해야 하는지 핵심 개념을 짚고 넘어가겠습니다.
⭐ 원순열 핵심 개념 & 전략
-
- 원순열이란? 서로 다른 $n$개의 대상을 원형으로 배열하는 것을 말합니다. 직선으로 나열하는 순열($n!$)과 달리, 원순열에서는 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 봅니다. 따라서 경우의 수는
$$ \frac{n!}{n} = (n-1)! $$ 입니다.
- 원순열이란? 서로 다른 $n$개의 대상을 원형으로 배열하는 것을 말합니다. 직선으로 나열하는 순열($n!$)과 달리, 원순열에서는 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 봅니다. 따라서 경우의 수는
- ‘이웃하여 앉는’ 경우의 수 전략:
- 1단계 (묶기): 이웃해야 하는 대상들을 하나의 끈으로 묶어 ‘한 묶음’ 또는 ‘한 사람’처럼 취급합니다.
- 2단계 (배열): ‘묶음’을 포함한 전체를 원형으로 배열합니다. (원순열 적용)
- 3단계 (내부 배열): 묶음 안에서 대상들이 자리를 바꾸는 경우의 수를 계산합니다. (일반 순열 적용)
- 4단계 (곱하기): 2단계와 3단계에서 구한 경우의 수를 곱합니다. (곱의 법칙)
이 ‘묶어서 하나로 보고, 마지막에 묶음 속을 배열한다’는 전략만 기억하면 모든 이웃 문제에 적용할 수 있습니다!
✏️ 실력 다지기: 유사 문제 풀이
이제 아래 유사 문제를 통해 개념을 제대로 적용해 봅시다.
유사 문제: 선생님 2명과 학생 5명이 원탁에 둘러앉아 회의를 하려고 한다. 이때, 선생님 2명이 서로 이웃하여 앉게 되는 경우의 수는?
🔍 단계별 풀이 전략 적용하기
Step 1: 이웃하는 대상을 ‘하나의 묶음’으로 취급하기
문제의 조건은 ‘선생님 2명이 이웃’하는 것입니다. 따라서 선생님 2명을 하나의 ‘선생님 묶음’으로 생각합니다.
이제 배열해야 할 대상은 ‘선생님 묶음’ 1개와 학생 5명이 됩니다. 즉, 총 $1+5 = 6$개의 대상을 배열하는 문제로 바뀌게 됩니다.
Step 2: 전체 묶음을 원형으로 배열하기
Step 1에서 정의한 6개의 대상을 원탁에 배열합니다. 이는 $6$개를 원형으로 배열하는 원순열이므로, 공식 $(n-1)!$을 적용합니다.
경우의 수는 다음과 같습니다.
$$ (6-1)! = 5! $$
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$
따라서 ‘선생님 묶음’과 학생들이 원탁에 앉는 경우의 수는 120가지입니다.
Step 3: ‘묶음 내부’에서 자리 바꾸기
이제 묶음 안을 들여다볼 차례입니다. ‘선생님 묶음’ 안에는 선생님 2명이 있습니다. 이 두 분이 서로 자리를 바꿀 수 있습니다.
(선생님A, 선생님B) 순서로 앉는 것과 (선생님B, 선생님A) 순서로 앉는 것은 다른 경우입니다. 묶음 내부의 배열은 원형이 아니므로 일반 순열을 적용합니다.
2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$ 2! = 2 \times 1 = 2 $$
Step 4: 계산 결과 곱하기 (최종 경우의 수)
최종 경우의 수는 Step 2에서 구한 ‘전체 배열 경우의 수’와 Step 3에서 구한 ‘묶음 내부 배열 경우의 수’를 곱의 법칙에 따라 곱해주면 됩니다.
$$ (\text{전체 배열}) \times (\text{내부 배열}) = 5! \times 2! $$
$$ 120 \times 2 = 240 $$
따라서 선생님 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 240가지 입니다.
✨ 최종 정리
원순열에서 ‘이웃하는’ 문제를 만났을 때, 당황하지 말고 오늘 배운 4단계 전략을 떠올리세요.
- 묶는다. (이웃할 대상을 하나로)
- 돌린다. (전체를 원순열로 배열)
- 바꾼다. (묶음 안에서 자리 바꾸기)
- 곱한다. (2번과 3번 결과를 곱하기)
이 전략만 머릿속에 담아두시면, 어떤 원순열 응용 문제도 자신 있게 해결할 수 있을 겁니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!