📘 개념 이해: “이차함수”란 무엇일까요?
함수 \(y=f(x)\)에서 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차식으로 표현될 때, 이 함수를 \(x\)에 대한 이차함수라고 합니다.
일반적으로 이차함수는 다음과 같은 꼴로 나타냅니다:
$$ y = ax^2 + bx + c $$
여기서 \(a, b, c\)는 상수이며, 가장 중요한 조건은 이차항의 계수 \(a\)가 0이 아니어야 한다는 것입니다 (\(a \neq 0\)).
만약 \(a=0\)이라면 \(x^2\) 항이 사라지므로 이차함수가 아니라 일차함수(\(b \neq 0\)일 때) 또는 상수함수(\(b=0\)일 때)가 됩니다.
🔑 이차함수가 되기 위한 핵심 조건:
- \(y\)가 \(x\)에 대한 식으로 표현되어야 합니다. (\(y = f(x)\) 꼴)
- 우변 \(f(x)\)가 \(x\)에 대한 이차식이어야 합니다.
- 즉, \(ax^2 + bx + c\) 형태로 정리될 수 있어야 합니다.
- 이차항(\(x^2\))의 계수 \(a\)는 절대로 0이 될 수 없습니다 (\(a \neq 0\)).
예시: \(y = 3x^2 – 2x + 1\)은 이차함수입니다. (\(a=3, b=-2, c=1\)이고 \(a \neq 0\))
예시 (오답): \(y = 0x^2 + 4x – 7 \implies y = 4x – 7\)은 이차항의 계수가 0이므로 일차함수입니다.
💡 이차함수 판별 단계
- 식 정리하기:주어진 함수식을 \(y = (\text{x에 대한 식})\) 꼴로 정리합니다. 만약 식이 복잡하게 얽혀 있다면, 괄호를 풀고 동류항끼리 계산하여 간단히 합니다.
- 최고차항 확인:정리된 식의 우변에서 \(x\)에 대한 최고차항의 차수를 확인합니다. 이차함수가 되려면 최고차항이 \(x^2\)이어야 합니다.
- 이차항 계수(\(a\)) 확인:최고차항이 \(x^2\)이라면, 그 계수(\(a\))가 0이 아닌지 반드시 확인합니다. \(a \neq 0\) 조건을 만족해야 이차함수입니다.
- 다항식 여부 판단:우변이 다항식인지 확인합니다. 분모에 \(x\)가 있거나 (예: \(y = \frac{1}{x^2}\)), \(x\)가 근호 안에 있는 경우 (예: \(y = \sqrt{x}\))는 다항함수가 아니므로 이차함수가 될 수 없습니다.
✅ 예제 1: 기본 형태 판별하기
문제: 다음 중 \(x\)에 대한 이차함수인 것을 고르시오.
(1) \(y = x^3 – 2x^2 + 1\)
(2) \(y = -x^2 + 5x\)
(3) \(y = 7x – 3\)
(4) \(y = \frac{2}{x} + x^2\)
(5) \(y = 9\)
풀이 과정:
(1) \(y = x^3 – 2x^2 + 1\): \(x\)에 대한 최고차항이 \(x^3\)이므로 삼차함수입니다.
(2) \(y = -x^2 + 5x\): \(y\)가 \(x\)에 대한 이차식(\(ax^2+bx+c\)) 꼴이고, \(x^2\)의 계수가 \(-1 (\neq 0)\)이므로 이차함수입니다.
(3) \(y = 7x – 3\): \(x\)에 대한 최고차항이 \(x\)이므로 일차함수입니다.
(4) \(y = \frac{2}{x} + x^2\): \(\frac{2}{x}\) 항 때문에 다항함수가 아닙니다. (분수함수 포함)
(5) \(y = 9\): \(x\) 항이 없는 상수함수입니다.
답: (2)
✅ 예제 2: 식을 정리한 후 판별하기
문제: 다음 중 \(x\)에 대한 이차함수인 것을 고르시오.
(1) \(y = x(x-3) – x^2\)
(2) \(y = (2x+1)^2 – 3x^2\)
(3) \(y = \frac{x^2-4}{x-2}\) (단, \(x \neq 2\))
(4) \(y = 5x^2 – (5x^2 – x)\)
풀이 과정:
(1) \(y = x(x-3) – x^2 = x^2 – 3x – x^2 = -3x\). \(x^2\) 항이 소거되므로 일차함수입니다.
(2) \(y = (2x+1)^2 – 3x^2 = (4x^2 + 4x + 1) – 3x^2 = x^2 + 4x + 1\). \(x^2\)의 계수가 \(1 (\neq 0)\)이므로 이차함수입니다.
(3) \(y = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\). 약분 후 정리하면 일차함수입니다.
(4) \(y = 5x^2 – (5x^2 – x) = 5x^2 – 5x^2 + x = x\). \(x^2\) 항이 소거되므로 일차함수입니다.
답: (2)
✅ 예제 3: 다양한 형태의 함수 판별
문제: 다음 보기에서 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차함수인 것을 모두 고른 것은?
보기
(ㄱ) \(y = \pi x^2\) (단, \(\pi\)는 원주율)
(ㄴ) \(y = (x-1)(x+1) – (x^2+x)\)
(ㄷ) \(y = x^2 + \frac{1}{x^2}\)
(ㄹ) 직사각형의 가로의 길이가 \(x\), 세로의 길이가 \(x+3\)일 때 넓이 \(y\)
풀이 과정:
(ㄱ) \(y = \pi x^2\): \(x^2\)의 계수가 \(\pi (\neq 0)\)이므로 이차함수입니다. (\(\pi\)는 상수)
(ㄴ) \(y = (x-1)(x+1) – (x^2+x) = (x^2-1) – x^2 – x = -x-1\). \(x^2\) 항이 소거되므로 일차함수입니다.
(ㄷ) \(y = x^2 + \frac{1}{x^2}\): \(\frac{1}{x^2}\) 항 때문에 다항함수가 아닙니다.
(ㄹ) 직사각형의 넓이 \(y = \text{가로} \times \text{세로} = x(x+3) = x^2 + 3x\). \(x^2\)의 계수가 \(1 (\neq 0)\)이므로 이차함수입니다.
답: (ㄱ), (ㄹ)
💡 마무리 정리 및 주의사항:
- 이차함수를 판별할 때는 반드시 주어진 식을 \(y = ax^2 + bx + c\) 꼴로 간단히 정리한 후 판단해야 합니다.
- 가장 중요한 것은 이차항(\(x^2\))이 존재하고, 그 계수(\(a\))가 0이 아니어야 한다는 점입니다.
- 단순히 \(x^2\) 항이 눈에 보인다고 해서 무조건 이차함수인 것은 아닙니다. 전개 및 동류항 정리 과정에서 이차항이 소거될 수 있음에 항상 유의해야 합니다.
- \(y\)가 \(x\)에 대한 다항식으로 표현되지 않는 경우(예: 분모에 \(x\)가 있는 분수식, \(x\)가 루트 안에 있는 무리식 등)는 이차함수가 될 수 없습니다.
한 근이 문자로 주어질 때 분수형 식의 값 구하기 – 곰쌤수학 – 중3 이차방정식 개념 및 유형 문제 풀이