안녕하세요! 고등 수학의 첫걸음을 떼는 학생 여러분! ‘집합’ 단원에서 배우는 새로운 기호들과 ‘이차부등식’ 풀이가 결합된 문제를 보면 처음에는 당황하기 쉽습니다. “분명 집합을 배우고 있는데 왜 갑자기 이차부등식이 나오지?” 하는 생각이 들 수 있죠. 하지만 이런 융합 문제는 여러 단원의 개념을 잘 이해하고 있는지를 확인하는 아주 좋은 문제입니다.
오늘은 이처럼 집합의 조건이 이차부등식으로 주어질 때, 어떻게 문제를 분석하고 단계별로 해결해 나가는지 그 모든 과정을 상세한 설명으로 풀어드리겠습니다. 이 글을 읽고 나면, 집합과 원소, 그리고 이차부등식의 관계를 명확히 이해하고 어떤 융합 문제에도 자신감을 갖게 될 것입니다.
🎯 문제 해결에 필요한 핵심 개념 짚고 가기
본격적인 문제 풀이에 앞서, 반드시 알아야 할 두 가지 핵심 개념을 간단히 복습해 보겠습니다.
⭐ 핵심 개념: 집합과 원소, 그리고 이차부등식
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- 집합과 원소의 관계:
- 집합(Set): 특정 조건을 만족하는 대상들의 모임입니다. (예: 10보다 작은 자연수의 모임)
- 원소(Element): 집합을 구성하는 대상 하나하나를 의미합니다. (예: 1, 2, 3, …)
- 기호의 의미:
- $a \in A$: 원소 $a$가 집합 $A$에 속한다(포함된다)는 의미입니다.
- $b \notin A$: 원소 $b$가 집합 $A$에 속하지 않는다(포함되지 않는다)는 의미입니다.
- 집합과 원소의 관계:
- 이차부등식 풀이:
- 이차식이 0보다 작은 형태, 즉 $ax^2+bx+c < 0$ (단, $a>0$)을 풀 때는 먼저 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근 $\alpha, \beta$ (단, $\alpha < \beta$)를 구합니다.
- 부등식의 해는 두 근의 사이 값인 $\alpha < x < \beta$ 가 됩니다.
✏️ 실력 다지기: 유사 문제로 개념 적용하기
이제 위 개념들을 바탕으로, 새로운 유사 문제를 풀어보며 실력을 키워봅시다.
유사 문제: 이차부등식 $x^2 – x – 12 < 0$ 의 정수인 해의 집합을 $B$라 할 때, 다음 중 옳은 것은?
- $-3 \in B$
- $-2 \notin B$
- $0 \in B$
- $3 \notin B$
- $4 \in B$
🔍 단계별 완벽 풀이 과정
이 문제를 해결하기 위한 과정은 명확합니다. 먼저 부등식을 풀어 집합 $B$가 어떤 원소들을 가지고 있는지 정확히 알아낸 다음, 각 보기가 맞는지 틀리는지 확인하면 됩니다.
Step 1: 이차부등식 풀어서 해의 범위 구하기
먼저 집합 $B$의 조건인 이차부등식 $x^2 – x – 12 < 0$을 풀어야 합니다. 좌변을 인수분해해 봅시다.
$$ x^2 – x – 12 = (x-4)(x+3) $$
따라서 주어진 부등식은 $(x-4)(x+3) < 0$ 이 됩니다. 이차식이 0보다 작은 형태이므로 해는 두 근인 -3과 4의 사이 값이 됩니다.
해의 범위: $-3 < x < 4$
Step 2: 집합 B의 원소 정확하게 나열하기
문제에서 집합 $B$는 위 부등식의 해 중 ‘정수’인 해의 집합이라고 했습니다. 따라서 우리는 $-3 < x < 4$ 범위 안에 있는 모든 정수를 찾아야 합니다.
수직선을 그려보면 더 명확합니다. -3과 4는 포함되지 않고, 그 사이에 있는 정수들이 바로 집합 $B$의 원소입니다.
해당 정수들: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$
이를 원소나열법으로 표현하면 집합 $B$는 다음과 같습니다.
$$ B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} $$
Step 3: 각 보기의 참/거짓 판별하기
이제 우리는 집합 $B$의 정체를 완벽하게 알게 되었습니다. 이 정보를 가지고 각 보기가 옳은지 그른지 하나씩 확인해 봅시다.
- ① $-3 \in B$: “-3은 집합 B의 원소이다.”
집합 $B$에는 -3이 없습니다. 따라서 이 문장은 거짓입니다. (부등식의 해가 $x > -3$ 이므로 -3은 포함되지 않습니다.) - ② $-2 \notin B$: “-2는 집합 B의 원소가 아니다.”
집합 $B$를 보면 -2는 분명히 원소로 존재합니다. 따라서 이 문장은 거짓입니다. - ③ $0 \in B$: “0은 집합 B의 원소이다.”
집합 $B$의 목록에 0이 포함되어 있습니다. 따라서 이 문장은 참입니다. - ④ $3 \notin B$: “3은 집합 B의 원소가 아니다.”
집합 $B$에는 3이 원소로 존재합니다. 따라서 이 문장은 거짓입니다. - ⑤ $4 \in B$: “4는 집합 B의 원소이다.”
집합 $B$에는 4가 없습니다. 따라서 이 문장은 거짓입니다. (부등식의 해가 $x < 4$ 이므로 4는 포함되지 않습니다.)
최종 정답: 문제의 보기 중 옳은 것은 ③번 입니다.
✨ 최종 정리 및 마무리
오늘은 집합과 이차부등식이 결합된 융합 문제를 풀어보았습니다. 문제를 해결하는 과정은 생각보다 간단했습니다. 핵심은 복잡해 보이는 문제를 단계별로 나누어 생각하는 것입니다.
- 조건 분석: 집합의 조건이 무엇인지 (이차부등식) 파악한다.
- 조건 풀이: 이차부등식을 풀어 해의 범위를 구한다.
- 원소 확정: 문제에서 요구하는 조건(예: 정수, 자연수)에 맞춰 해의 범위에 속하는 원소들을 나열하여 집합을 완성한다.
- 보기 확인: 완성된 집합을 기준으로 각 보기의 포함 관계(∈, ∉)가 맞는지 확인한다.
특히 부등식의 경계값이 포함되는지(<, >) 포함되지 않는지(≤, ≥)를 꼼꼼히 확인하는 습관이 중요합니다. 이 단계별 풀이법을 꾸준히 연습하여 수학에 대한 자신감을 키워나가시길 바랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!
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