함수의 극한값 존재 조건: 좌극한과 우극한 완벽 정복

함수의 극한값 존재 조건

고등학교 수학II 과정에서 처음 만나는 ‘함수의 극한’은 많은 학생이 어려워하는 개념 중 하나입니다.

특히 “극한값이 존재한다”는 말의 정확한 의미를 파악하는 것이 중요하죠. 오늘은 함수의 극한값이 존재하기 위한 조건은 무엇인지 알아보고, 유사 문제를 통해 개념을 확실하게 다져보겠습니다.

Table of Contents

🎯 함수의 극한, 핵심 개념부터!

어떤 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 특정 수 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워진다면, “함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다”고 말하며, $L$을 $f(x)$의 극한값(또는 극한)이라고 합니다. 기호로는 다음과 같이 나타냅니다.

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

그렇다면, 이 ‘극한값’은 언제나 존재할까요? 그렇지 않습니다. 극한값이 존재하기 위한 절대적인 조건이 있습니다.

⭐ 극한값 존재의 핵심 조건
함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 극한값이 $L$로 존재한다는 것은, $x$가 $a$보다 작은 쪽에서 $a$로 다가갈 때의 극한(좌극한)과 $x$가 $a$보다 큰 쪽에서 $a$로 다가갈 때의 극한(우극한)이 모두 존재하며 그 값이 $L$로 같아야 한다는 의미입니다.

좌극한: $ \lim_{x \to a^-} f(x) = L $
우극한: $ \lim_{x \to a^+} f(x) = L $

결론적으로, $ \lim_{x \to a} f(x) $ 가 존재하려면 $ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) $ 이어야 합니다. 만약 두 값이 다르거나, 어느 한쪽이라도 특정 값으로 수렴하지 않는다면 극한값은 존재하지 않습니다.

✏️ 실력 다지기: 유사 문제 풀이

이제 아래 유사 문제를 통해 개념을 제대로 적용해 봅시다.

유사 문제: 다음 보기의 함수 $g(x)$에 대하여 $ \lim_{x \to 1} g(x) $의 값이 존재하는 것을 모두 고르시오.

보기
ㄱ. $ g(x) = 2x + 3 $
ㄴ. $ g(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $
ㄷ. $ g(x) = \frac{x^2 – 1}{|x – 1|} $

🔍 단계별 풀이

1. 보기 ㄱ: $ g(x) = 2x + 3 $

$g(x) = 2x+3$은 다항함수(일차함수)입니다. 다항함수는 모든 실수 구간에서 연속이므로, 특정 지점에서의 극한값은 그 지점에서의 함숫값과 같습니다. 원칙에 따라 좌극한과 우극한을 확인해 보겠습니다.

좌극한 ($x \to 1^-$): $ \lim_{x \to 1^-} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5 $
우극한 ($x \to 1^+$): $ \lim_{x \to 1^+} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5 $

결론 (ㄱ): 좌극한 = 우극한 = 5 이므로, $ \lim_{x \to 1} g(x) = 5 $ (극한값 존재)

📈 GeoGebra에서 g(x)=2x+3 그래프 확인하기

2. 보기 ㄴ: $ g(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $

$g(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$는 $x=1$에서 분모가 0이 되는 분수함수입니다. 이런 경우 극한값이 어떻게 되는지 살펴봅시다.

좌극한 ($x \to 1^-$): $x$가 1보다 작은 값에서 1로 가면 $(x-1)$은 0에 가까운 음수, $(x-1)^2$은 0에 가까운 양수가 됩니다. 따라서 $ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty $ 입니다.
우극한 ($x \to 1^+$): $x$가 1보다 큰 값에서 1로 가면 $(x-1)$은 0에 가까운 양수, $(x-1)^2$도 0에 가까운 양수가 됩니다. 따라서 $ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty $ 입니다.

좌극한과 우극한의 방향이 모두 양의 무한대($+\infty$)로 같지만, ‘무한대’는 특정 값이 아니므로 수렴하는 것이 아닙니다. 이를 ‘양의 무한대로 발산한다’고 표현합니다. 극한값은 특정 상수값으로 수렴할 때만 존재한다고 말합니다.

결론 (ㄴ): 극한값이 특정 상수가 아닌 무한대로 발산하므로, $ \lim_{x \to 1} g(x) $는 존재하지 않습니다.

📈 GeoGebra에서 g(x)=1/(x-1)² 그래프 확인하기

3. 보기 ㄷ: $ g(x) = \frac{x^2 – 1}{|x – 1|} $

분모에 절댓값 기호가 포함되어 있습니다. 절댓값은 안의 값이 0이 되는 $x=1$을 기준으로 구간을 나누어 풀어야 합니다. 분자 $x^2-1$은 $(x-1)(x+1)$로 인수분해되므로, $ g(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{|x-1|} $ 입니다.

우극한 ($x \to 1^+$): $x > 1$이므로 $|x-1| = x-1$ 입니다.
$$ g(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) $$
따라서, $ \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2 $ 입니다.
좌극한 ($x \to 1^-$): $x < 1$이므로 $|x-1| = -(x-1)$ 입니다.
$$ g(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)} = -(x+1) \quad (x \neq 1) $$
따라서, $ \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) = -2 $ 입니다.

좌극한은 -2이고 우극한은 2입니다. 두 값이 서로 다릅니다.

결론 (ㄷ): 좌극한($-2$) ≠ 우극한($2$)이므로, $ \lim_{x \to 1} g(x) $는 존재하지 않습니다.

📈 GeoGebra에서 g(x)=(x²-1)/|x-1| 그래프 확인하기