안녕하세요. 곰쌤수학 곰쌤입니다.
“두 눈의 합이 5 또는 10이 될 확률은?”
“티셔츠 3벌과 바지 2벌로 코디할 수 있는 방법은 총 몇 가지?”
우리는 일상생활과 수학 문제에서 수많은 경우의 수를 마주합니다. 이때 어떤 상황에서 숫자를 더하고, 어떤 상황에서 곱해야 할지 헷갈렸던 경험이 다들 한 번쯤 있으실 겁니다. 이 모든 혼란을 해결해 줄 열쇠가 바로 합의 법칙과 곱의 법칙입니다.
이 두 가지 원리만 명확히 구분하면 경우의 수 문제는 더 이상 어렵지 않습니다. 오늘은 합의 법칙과 곱의 법칙의 핵심 개념부터 언제, 어떻게 적용해야 하는지 다양한 예시와 함께 깊이 있게 파헤쳐 보겠습니다.
“두 눈의 합이 5 또는 10이 될 확률은?”
“티셔츠 3벌과 바지 2벌로 코디할 수 있는 방법은 총 몇 가지?”
우리는 일상생활과 수학 문제에서 수많은 경우의 수를 마주합니다. 이때 어떤 상황에서 숫자를 더하고, 어떤 상황에서 곱해야 할지 헷갈렸던 경험이 다들 한 번쯤 있으실 겁니다. 이 모든 혼란을 해결해 줄 열쇠가 바로 합의 법칙과 곱의 법칙입니다.
이 두 가지 원리만 명확히 구분하면 경우의 수 문제는 더 이상 어렵지 않습니다. 오늘은 합의 법칙과 곱의 법칙의 핵심 개념부터 언제, 어떻게 적용해야 하는지 다양한 예시와 함께 깊이 있게 파헤쳐 보겠습니다.
1. 합의 법칙: ‘또는(OR)’의 세계
합의 법칙은 여러 선택지 중 하나만 선택할 수 있는 상황에 적용됩니다. 즉, 여러 사건들이 절대 동시에 일어날 수 없을 때 각 경우의 수를 모두 더해주는 원리입니다. 문장 속에서 ‘또는’, ‘~이거나’라는 키워드를 발견했다면 합의 법칙을 떠올려야 합니다.
💡 합의 법칙 핵심 정리
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 $m$가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n$가지라면, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수를 더하여 계산합니다.
(A 또는 B가 일어나는 경우의 수) = $m + n$
예시 1) 식당 메뉴 고르기
점심 메뉴로 한식 4가지(김치찌개, 된장찌개, 비빔밥, 불고기)와 중식 3가지(짜장면, 짬뽕, 볶음밥)가 있습니다. 이 중 하나의 메뉴만 주문하려고 합니다.
- 한식을 선택하는 경우의 수: 4가지
- 중식을 선택하는 경우의 수: 3가지
한식을 주문하면서 동시에 중식을 주문할 수는 없습니다. 따라서 두 사건은 독립적이며, 전체 선택 가능한 경우의 수는 합의 법칙에 따라 계산됩니다.
→ 총 경우의 수 = $4 + 3 = 7$가지
예시 2) 주사위 던지기
주사위 한 개를 던질 때, 2 이하 또는 5 이상의 눈이 나오는 경우의 수는?
- 2 이하의 눈이 나오는 경우: 1, 2 (2가지)
- 5 이상의 눈이 나오는 경우: 5, 6 (2가지)
하나의 눈이 2 이하이면서 동시에 5 이상일 수는 없습니다. 따라서 두 사건은 동시에 발생하지 않으므로 합의 법칙을 사용합니다.
→ 총 경우의 수 = $2 + 2 = 4$가지
2. 곱의 법칙: ‘그리고(AND)’의 세계
곱의 법칙은 어떤 사건이 일어나고, 그 결과에 이어 연속적으로 또는 동시에 다른 사건이 일어나는 상황에 적용됩니다. 각 단계의 선택이 다음 단계의 선택에 영향을 주며, 전체 경우의 수는 각 단계별 경우의 수를 곱하여 계산합니다. 문장 속에서 ‘그리고’, ‘~하고 나서’, ‘잇달아’, ‘동시에’라는 키워드가 보인다면 곱의 법칙을 의심해야 합니다.
💡 곱의 법칙 핵심 정리
사건 A가 일어나는 경우의 수가 $m$가지이고, 그 각각의 경우에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n$가지라면, 두 사건 A, B가 잇달아 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수를 곱하여 계산합니다.
(A 그리고 B가 잇달아 일어나는 경우의 수) = $m \times n$
예시 1) 등하교 길 찾기
집에서 학교까지 가는 길이 3가지, 학교에서 도서관까지 가는 길이 4가지 있습니다. 집에서 학교를 거쳐서 도서관까지 가는 방법의 수는?
- 집 → 학교: 3가지 길
- 학교 → 도서관: 4가지 길
집에서 학교까지 가는 3가지 길 각각에 대해, 학교에서 도서관으로 가는 4가지 길이 모두 가능합니다. 두 사건은 연속적으로 일어나므로 곱의 법칙을 적용합니다.
→ 총 경우의 수 = $3 \times 4 = 12$가지
예시 2) 동전과 주사위 던지기
서로 다른 동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는?
- 동전이 나오는 경우: 앞, 뒤 (2가지)
- 주사위가 나오는 경우: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6가지)
동전의 앞면이 나왔을 때 주사위는 6가지 경우가 가능하고, 동전의 뒷면이 나왔을 때도 주사위는 6가지 경우가 가능합니다. 따라서 곱의 법칙을 사용합니다.
→ 총 경우의 수 = $2 \times 6 = 12$가지
✏️ 심화 학습: 합의 법칙과 곱의 법칙의 콜라보
실제 문제에서는 두 법칙이 복합적으로 사용되는 경우가 많습니다. 전체 상황을 작은 사건들로 나눈 뒤, 각 사건의 관계가 ‘또는’인지 ‘그리고’인지를 판단하는 연습이 필요합니다.
문제: A 도시에서 C 도시로 가는 방법
A 도시에서 B 도시로 가는 버스 노선은 3개, 기차 노선은 2개가 있다. 그리고 B 도시에서 C 도시로 가는 지하철 노선은 2개가 있다. 한편, A 도시에서 C 도시로 바로 가는 비행기 노선은 2개가 있다. A 도시에서 C 도시로 가는 모든 경우의 수는?
A 도시에서 B 도시로 가는 버스 노선은 3개, 기차 노선은 2개가 있다. 그리고 B 도시에서 C 도시로 가는 지하철 노선은 2개가 있다. 한편, A 도시에서 C 도시로 바로 가는 비행기 노선은 2개가 있다. A 도시에서 C 도시로 가는 모든 경우의 수는?
풀이:
이 문제는 크게 두 가지 시나리오로 나눌 수 있습니다.
시나리오 1: B 도시를 거쳐서 가는 경우
A에서 B로 가는 방법: 버스(3) 또는 기차(2) →
3+2=5
가지 (합의 법칙)
B에서 C로 가는 방법: 지하철(2) → 2가지
A → B로 가고(그리고) B → C로 가야 하므로, 이 두 단계는 곱의 법칙을 적용합니다.
따라서, B 도시를 거쳐 가는 경우의 수는
5×2=10
가지 입니다.
시나리오 2: 직항으로 바로 가는 경우
– A에서 C로 가는 비행기 노선은 2가지 입니다.
최종 계산:
B 도시를 거쳐 가거나(또는) 직항으로 가는 두 시나리오는 동시에 일어날 수 없습니다. 따라서 두 시나리오의 경우의 수를 더해줍니다. (합의 법칙)
→ 최종 경우의 수 = (B를 거쳐 가는 경우) + (직항으로 가는 경우) = $10 + 2 = 12$가지
💡 최종 마무리
- 합의 법칙 (덧셈): 사건들이 독립적이며, ‘또는(OR)’의 관계로 묶일 때 사용합니다. 핵심은 ‘이것 아니면 저것’의 선택 상황입니다.
- 곱의 법칙 (곱셈): 사건들이 연속적이거나 동시에 일어나며, ‘그리고(AND)’의 관계로 묶일 때 사용합니다. 핵심은 ‘이것도 하고 저것도 하는’ 단계적 상황입니다.
- 복잡한 문제는 전체 상황을 작은 단위로 쪼갠 후, 각 단위 사이의 관계가 ‘또는’인지 ‘그리고’인지를 파악하여 합의 법칙과 곱의 법칙을 적절히 조합하는 것이 중요합니다.
- 경우의 수 개념은 순열과 조합의 기초가 되므로, 확실히 이해하고 넘어가는 것이 좋습니다.