소인수분해 대표유형 문제 풀이 – 옳은 것만 있는 보기 고르기-260414001
소인수분해 문제는 숫자를 잘 나누는 것보다 끝까지 소수만 남겨서 써야 한다는 원칙을 정확히 아는지가 더 중요합니다.
시험에서는 일부러 거의 맞아 보이는 식을 섞어 놓고, 마지막에 합성수가 남아 있는데도 맞는 것처럼 보이게 만드는 경우가 많습니다.
이번 문제도 각 수를 실제로 소인수분해해 보면서, 어떤 식이 정확하고 어떤 식이 틀렸는지 하나씩 차근차근 확인해 보겠습니다.
다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. \(36=2^2\times 3^2\)
ㄴ. \(70=2\times 5\times 7\)
ㄷ. \(90=2\times 3^2\times 5\)
ㄹ. \(48=2^3\times 6\)
ㅁ. \(120=2^3\times 3\times 5\)
① ㄱ, ㄴ, ㄷ
② ㄱ, ㄷ, ㄹ
③ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ
④ ㄴ, ㄹ, ㅁ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㅁ
이 문제의 핵심은 소인수분해의 뜻을 정확히 이해하는 것입니다.
소인수분해는 합성수를 소수들의 곱으로만 나타내는 것입니다.
따라서 계산 결과가 맞더라도 마지막에 \(6\) 같은 합성수가 남아 있으면 소인수분해라고 할 수 없습니다.
소인수분해란 어떤 자연수를 소수만을 이용한 곱으로 나타내는 것입니다.
예: \(12=2^2\times 3\)
예: \(18=2\times 3^2\)
예: \(20=2^2\times 5\)
여기서 가장 중요한 점은 다음입니다.
소인수분해의 마지막 결과에는 소수만 남아 있어야 합니다.
\(4, 6, 8, 9, 10\)처럼 합성수가 남아 있으면 완전한 소인수분해가 아닙니다.
따라서 문제를 풀 때는 계산이 맞는지만 보지 말고, 마지막에 남은 인수들이 모두 소수인지까지 꼭 확인해야 합니다.
ㄱ은
\[
36=2^2\times 3^2
\]
라고 되어 있습니다.
오른쪽을 계산하면
\[
2^2\times 3^2=4\times 9=36
\]
입니다.
또 \(2\)와 \(3\)은 모두 소수입니다.
따라서 이 식은 정확한 소인수분해입니다.
ㄴ은
\[
70=2\times 5\times 7
\]
이라고 되어 있습니다.
오른쪽을 계산하면
\[
2\times 5\times 7=10\times 7=70
\]
입니다.
그리고 \(2,5,7\)은 모두 소수입니다.
따라서 이 역시 올바른 소인수분해입니다.
ㄷ은
\[
90=2\times 3^2\times 5
\]
라고 되어 있습니다.
오른쪽을 계산하면
\[
2\times 3^2\times 5=2\times 9\times 5=18\times 5=90
\]
입니다.
또한 \(2,3,5\)는 모두 소수이므로 완전한 소인수분해가 맞습니다.
ㄹ은
\[
48=2^3\times 6
\]
이라고 되어 있습니다.
먼저 계산만 보면
\[
2^3\times 6=8\times 6=48
\]
이므로 값은 맞습니다.
그런데 소인수분해는 값만 맞으면 되는 것이 아니라 마지막에 모두 소수여야 합니다.
여기서 \(6\)은 소수가 아니라
\[
6=2\times 3
\]
인 합성수입니다.
따라서 \(48\)을 끝까지 소인수분해하면
\[
48=2^4\times 3
\]
이 되어야 합니다.
ㅁ은
\[
120=2^3\times 3\times 5
\]
라고 되어 있습니다.
계산하면
\[
2^3\times 3\times 5=8\times 3\times 5=24\times 5=120
\]
입니다.
그리고 \(2,3,5\)는 모두 소수이므로 정확한 소인수분해입니다.
지금까지 확인한 결과를 정리하면
따라서 옳은 것은
\[
\boxed{\text{ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ}}
\]
입니다.
보기에서 이에 해당하는 것은 ③입니다.
\[
\boxed{③}
\]
옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ입니다.
소인수분해 문제를 풀 때는 다음 순서로 확인하면 됩니다.
1. 주어진 수가 실제로 맞는 곱인지 계산한다.
2. 마지막 인수들이 모두 소수인지 확인한다.
3. 합성수가 남아 있으면 더 쪼갠다.
4. 소수만 남았을 때 비로소 소인수분해가 완성된다.
예를 들어
\[
48=2^3\times 6
\]
에서 멈추면 아직 끝난 것이 아닙니다.
왜냐하면 \(6\)이 소수가 아니기 때문입니다.
여기서 한 번 더 쪼개어
\[
6=2\times 3
\]
로 바꾸면
\[
48=2^4\times 3
\]
이 되고, 이때가 진짜 소인수분해입니다.
따라서 시험에서는 계산이 맞는지만 보지 말고, 마지막 형태까지 꼭 확인하는 습관이 중요합니다.
다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(18=2\times 3^2\)
ㄴ. \(24=2^3\times 3\)
ㄷ. \(30=2\times 15\)
풀이
ㄱ:
\[
2\times 3^2=2\times 9=18
\]
이고, \(2,3\)은 소수이므로 맞습니다.
ㄴ:
\[
2^3\times 3=8\times 3=24
\]
이고, \(2,3\)은 소수이므로 맞습니다.
ㄷ:
\[
2\times 15=30
\]
는 값은 맞지만, \(15\)가 소수가 아니므로 소인수분해는 아닙니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄴ
다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(50=2\times 5^2\)
ㄴ. \(72=2^3\times 9\)
ㄷ. \(98=2\times 7^2\)
풀이
ㄱ:
\[
2\times 5^2=2\times 25=50
\]
이고, \(2,5\)는 소수라서 맞습니다.
ㄴ:
\[
2^3\times 9=8\times 9=72
\]
는 값은 맞지만, \(9\)가 소수가 아니므로 소인수분해는 아닙니다.
ㄷ:
\[
2\times 7^2=2\times 49=98
\]
이고, \(2,7\)은 소수이므로 맞습니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄷ
다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. \(64=2^6\)
ㄴ. \(84=2^2\times 3\times 7\)
ㄷ. \(96=2^4\times 6\)
풀이
ㄱ:
\[
2^6=64
\]
이고 \(2\)는 소수이므로 맞습니다.
ㄴ:
\[
2^2\times 3\times 7=4\times 3\times 7=84
\]
이고 \(2,3,7\)은 모두 소수이므로 맞습니다.
ㄷ:
\[
2^4\times 6=16\times 6=96
\]
는 값은 맞지만, \(6\)이 합성수이므로 소인수분해는 아닙니다.
검산
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.
[정답] : ㄱ, ㄴ
소인수분해 대표유형 문제 풀이 – 옳은 것만 있는 보기 고르기-260414001
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