유리수 지수 문제 풀이 | 근호를 지수로 바꾸어 합구하기-고2대수
근호와 지수가 함께 나오는 문제는 겉으로 보면 복잡해 보이지만,
실제로는 모두 같은 원리로 풀립니다.
핵심은 모든 식을 지수 형태로 통일해서 보는 것입니다.
특히 \(a=\sqrt{2}\), \(b=\sqrt[3]{7}\)처럼 주어진 수를 각각 소인수의 거듭제곱으로 바꾸면,
\(a^m b^n\)의 식을 비교하여 \(m\), \(n\)을 한 번에 구할 수 있습니다.
이번 문제는 분수지수와 유리수 지수의 연결을 이해하는 대표 유형입니다.
\[
a=\sqrt{2},\qquad b=\sqrt[3]{7}
\]
일 때,
\[
a^m b^n=\sqrt[6]{28}
\]
를 만족시키는 유리수 \(m,\;n\)에 대하여
\[
m+n
\]
의 값을 구하시오.
이 문제는 \(a\), \(b\), \(\sqrt[6]{28}\)을 모두 지수 형태로 바꾸고,
양변에서 \(2\)의 지수와 \(7\)의 지수를 각각 비교하는 문제입니다.
\(2\)와 \(7\)은 서로 다른 소수이므로, 각각의 지수를 따로 비교하면 \(m\), \(n\)을 정확하게 구할 수 있습니다.
근호는 모두 분수지수로 바꿀 수 있습니다.
\[
\sqrt{x}=x^{\frac12}
\]
\[
\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}
\]
\[
\sqrt[6]{x}=x^{\frac16}
\]
\[
(x^p)^q=x^{pq}
\]
또한 서로 다른 소수의 곱으로 이루어진 식은 각 소수의 지수를 따로 비교할 수 있습니다.
이번 문제에서는 \(2\)와 \(7\)을 따로 보는 것이 핵심입니다.
문제에서
\[
a=\sqrt{2},\qquad b=\sqrt[3]{7}
\]
라고 했습니다.
이를 분수지수로 바꾸면
입니다.
이제
\[
a^m b^n
\]
에 위 결과를 대입해 보겠습니다.
따라서 왼쪽 식은
오른쪽은
\[
\sqrt[6]{28}
\]
입니다.
먼저 \(28\)을 소인수분해하면
\[
28=2^2\times 7
\]
입니다.
따라서
즉, 오른쪽 식은
\[
2^{\frac13}\cdot 7^{\frac16}
\]
입니다.
이제 원래 식
\[
a^m b^n=\sqrt[6]{28}
\]
은 다음과 같이 바뀝니다.
밑이 같은 것끼리 지수를 비교하면
첫 번째 식에서
두 번째 식에서
따라서
\[
m=\frac23,\qquad n=\frac12
\]
입니다.
이제
\[
m+n=\frac23+\frac12
\]
입니다.
공통분모를 6으로 맞추면
따라서
\[
\boxed{\frac76}
\]
이런 문제는 다음 순서로 풀면 거의 항상 해결됩니다.
1. 근호를 모두 분수지수로 바꾼다.
2. 소인수분해가 가능하면 먼저 한다.
3. 서로 다른 소수의 지수를 각각 비교한다.
4. 마지막에 필요한 식을 계산한다.
특히
\[
\sqrt{2},\quad \sqrt[3]{7},\quad \sqrt[6]{28}
\]
처럼 근호의 차수가 달라도 전부 지수 형태로 바꾸면 같은 원리로 비교할 수 있습니다.
즉, 이 단원은 근호 문제처럼 보여도 실제로는 지수법칙 문제라고 생각하시면 훨씬 쉽게 접근할 수 있습니다.
\[
a=\sqrt{3},\qquad b=\sqrt[3]{5}
\]
일 때,
\[
a^m b^n=\sqrt[6]{45}
\]
를 만족시키는 유리수 \(m,\;n\)에 대하여 \(m+n\)의 값을 구하시오.
풀이
\[
a=\sqrt{3}=3^{\frac12},\qquad b=\sqrt[3]{5}=5^{\frac13}
\]
이므로
\[
a^m b^n=3^{\frac{m}{2}}5^{\frac{n}{3}}
\]
입니다.
또
\[
\sqrt[6]{45}=\sqrt[6]{3^2\cdot 5}=3^{\frac13}5^{\frac16}
\]
입니다.
따라서
\[
\frac{m}{2}=\frac13,\qquad \frac{n}{3}=\frac16
\]
이고
\[
m=\frac23,\qquad n=\frac12
\]
입니다.
그러므로
\[
m+n=\frac23+\frac12=\frac76
\]
입니다.
[정답] : \(\frac76\)
\[
a=\sqrt{5},\qquad b=\sqrt[3]{2}
\]
일 때,
\[
a^m b^n=\sqrt[6]{200}
\]
를 만족시키는 유리수 \(m,\;n\)에 대하여 \(m+n\)의 값을 구하시오.
풀이
\[
a=\sqrt{5}=5^{\frac12},\qquad b=\sqrt[3]{2}=2^{\frac13}
\]
이므로
\[
a^m b^n=5^{\frac{m}{2}}2^{\frac{n}{3}}
\]
입니다.
또
\[
200=2^3\cdot 5^2
\]
이므로
\[
\sqrt[6]{200}=2^{\frac{3}{6}}5^{\frac{2}{6}}=2^{\frac12}5^{\frac13}
\]
입니다.
따라서
\[
\frac{m}{2}=\frac13,\qquad \frac{n}{3}=\frac12
\]
이므로
\[
m=\frac23,\qquad n=\frac32
\]
입니다.
따라서
\[
m+n=\frac23+\frac32=\frac{4}{6}+\frac{9}{6}=\frac{13}{6}
\]
입니다.
[정답] : \(\frac{13}{6}\)
\[
a=\sqrt{11},\qquad b=\sqrt[3]{3}
\]
일 때,
\[
a^m b^n=\sqrt[6]{99}
\]
를 만족시키는 유리수 \(m,\;n\)에 대하여 \(m+n\)의 값을 구하시오.
풀이
\[
a=\sqrt{11}=11^{\frac12},\qquad b=\sqrt[3]{3}=3^{\frac13}
\]
이므로
\[
a^m b^n=11^{\frac{m}{2}}3^{\frac{n}{3}}
\]
입니다.
또
\[
99=3^2\cdot 11
\]
이므로
\[
\sqrt[6]{99}=3^{\frac{2}{6}}11^{\frac{1}{6}}=3^{\frac13}11^{\frac16}
\]
입니다.
따라서
\[
\frac{m}{2}=\frac16,\qquad \frac{n}{3}=\frac13
\]
이고
\[
m=\frac13,\qquad n=1
\]
입니다.
그러므로
\[
m+n=\frac13+1=\frac43
\]
입니다.
[정답] : \(\frac43\)
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