고2-대수 중간고사 - 분수지수 계산 문제 풀이 - 합차공식으로 곱셈식 간단히 하기-260415002
분수지수가 여러 개 곱해져 있는 식은 처음 보면 복잡해 보이지만, 실제로는 같은 밑의 지수를 더하고 빼는 문제입니다.
이런 유형은 계산을 하나하나 따로 하려 하지 말고, 공통된 밑을 먼저 찾고 지수법칙으로 묶어서 정리하는 것이 가장 중요합니다.
이번 문제도 \((1+5^2)\)라는 같은 밑이 반복되므로, 지수의 합과 차를 차분하게 정리하면 아주 깔끔하게 답을 구할 수 있습니다.
다음 식을 간단히 하시오.
이 문제는 여러 괄호가 곱해져 있지만, 핵심은 마지막 두 괄호
\[
\left(1+5^{\frac18}\right)\left(1-5^{\frac18}\right)
\]
을 먼저 계산한 뒤, 계속해서 합차공식을 반복적으로 사용하는 것입니다.
중간에 나오는 식들이 차례대로 소거되면서 매우 간단한 형태로 정리됩니다.
이 문제에서 가장 중요한 공식은 바로 합차공식입니다.
\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]
특히 \(a=1\), \(b=5^{\frac18}\)처럼 두면
이 됩니다.
그리고
\[
\left(5^{\frac18}\right)^2=5^{\frac14}
\]
이므로, 앞의 괄호들과 자연스럽게 연결됩니다.
즉, 이 문제는 합차공식을 한 번 쓰고 끝나는 것이 아니라, 같은 구조를 연속해서 이용하는 문제입니다.
주어진 식의 맨 뒤를 보면
이 있습니다.
이것은 합차공식
\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]
를 바로 쓸 수 있는 형태입니다.
여기서
\[
a=1,\qquad b=5^{\frac18}
\]
이므로
그런데
\[
\left(5^{\frac18}\right)^2=5^{\frac14}
\]
이므로
이제 식의 뒤쪽은
이 됩니다.
이것도 다시 합차공식입니다.
그리고
\[
\left(5^{\frac14}\right)^2=5^{\frac12}
\]
이므로
이제 다시 식의 일부가
꼴이 됩니다.
역시 합차공식을 쓰면
그런데
\[
\left(5^{\frac12}\right)^2=5
\]
이므로
이제 식은
부분을 가지게 됩니다.
이것도 합차공식으로
입니다.
이제 맨 앞에 있던
\[
(1+5^2)
\]
와 방금 얻은
\[
(1-5^2)
\]
를 곱하면 됩니다.
여기서
\[
(5^2)^2=5^4
\]
이므로
그리고
\[
5^4=625
\]
이므로
전체 흐름을 한 번에 다시 쓰면
따라서 주어진 식의 값은 \(-624\)입니다.
\[
\boxed{-624}
\]
이 문제처럼 비슷한 꼴의 괄호가 길게 곱해져 있을 때는 무조건 앞에서부터 계산하려 하지 말고,
합차공식이 보이는 두 괄호를 먼저 찾는 것이 중요합니다.
1. \((1+a)(1-a)=1-a^2\)
2. 새로 생긴 \(1-a^2\)가 앞의 \((1+a^2)\)와 다시 묶일 수 있는지 본다.
3. 이런 구조가 반복되면 차례로 소거된다.
이번 문제는
\[
5^{\frac18}\to 5^{\frac14}\to 5^{\frac12}\to 5\to 5^2
\]
처럼 지수가 두 배씩 커지면서 연쇄적으로 정리되는 구조입니다.
따라서 비슷한 문제를 만났을 때는 “이 식은 하나의 공식으로 끝나는 문제가 아니라, 합차공식이 연속해서 이어지는 구조구나”라고 먼저 알아보는 습관이 중요합니다.
다음 식을 간단히 하시오.
풀이
먼저
\[
(1+\sqrt[4]{3})(1-\sqrt[4]{3})=1-\sqrt{3}
\]
입니다.
따라서 전체 식은
\[
(1+3)(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})
\]
가 됩니다.
다시 합차공식을 쓰면
\[
(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1-3=-2
\]
이므로
\[
(1+3)\cdot (-2)=4\cdot (-2)=-8
\]
입니다.
[정답] : \(-8\)
다음 식을 간단히 하시오.
풀이
먼저
\[
(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1
\]
입니다.
따라서 식은
\[
(1+2^2)(1+2)\cdot(-1)
\]
이고
\[
(1+2^2)=5,\qquad (1+2)=3
\]
이므로
\[
5\cdot 3\cdot (-1)=-15
\]
입니다.
[정답] : \(-15\)
다음 식을 간단히 하시오.
풀이
\[
\sqrt{4}=2
\]
이므로 식은
\[
(1+4)(1+2)(1-2)
\]
입니다.
여기서
\[
(1+2)(1-2)=1-4=-3
\]
이므로
\[
(1+4)\cdot(-3)=5\cdot(-3)=-15
\]
입니다.
[정답] : \(-15\)
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