지수법칙과 근호 문제 풀이 – 식을 만족시키는 자연수 구하기-고2-대수-중간고사-260416001
근호가 여러 겹으로 들어 있는 식은 처음 보면 아주 복잡해 보이지만,
결국은 모두 분수지수로 바꾸는 문제입니다.
이런 유형은 하나씩 따로 계산하는 것보다,
각 부분을 \(a\)의 몇 제곱인지 차분하게 정리하는 것이 핵심입니다.
이번 문제도 왼쪽과 오른쪽을 모두 \(a\)의 지수 꼴로 바꾸면,
마지막에는 지수끼리 비교하여 자연수 \(n\)을 찾을 수 있습니다.
다음 식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
\(\;(\text{단, }a>0,\;a\ne 1)\)
이 문제의 핵심은 양변을 모두
\[
a^{\text{어떤 수}}
\]
꼴로 바꾸는 것입니다.
그렇게 하면 왼쪽 지수와 오른쪽 지수를 비교할 수 있고,
\(a>0,\;a\ne 1\) 조건 때문에 밑이 같은 거듭제곱의 지수는 서로 같다고 볼 수 있습니다.
근호는 분수지수로 바꿀 수 있습니다.
\[
\sqrt{a}=a^{\frac12}
\]
\[
\sqrt[4]{a}=a^{\frac14}
\]
\[
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{mn}}
\]
\[
\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}
\]
\[
(a^p)^q=a^{pq}
\]
이 문제는 위 다섯 가지를 순서대로 적용하면 해결됩니다.
왼쪽 식은
\[
\sqrt{a\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt[4]{a^3}}
\]
입니다.
먼저 각 항을 지수 형태로 바꾸겠습니다.
따라서 루트 안의 전체는
이제 지수를 계산하면
따라서 왼쪽 식은
오른쪽 식은
\[
\sqrt[4]{\sqrt{\frac{a^n}{a^5}}}
\]
입니다.
먼저 분수 안을 정리하면
이제 제곱근을 씌우면
여기에 다시 네제곱근을 씌우면
따라서 오른쪽 식은
\[
a^{\frac{n-5}{8}}
\]
입니다.
이제 원래 식은
꼴이 되었습니다.
문제에서 \(a>0,\;a\ne 1\)이라고 했으므로, 밑이 같은 거듭제곱에서는 지수가 같아야 합니다.
따라서
양변에 \(8\)을 곱하면
따라서
구한 값 \(n=14\)는 자연수이므로 조건을 만족합니다.
\[
\boxed{14}
\]
이런 유형은 복잡해 보이지만 결국 다음 흐름으로 풀립니다.
1. 모든 근호를 분수지수로 바꾼다.
2. 곱셈은 지수의 덧셈, 나눗셈은 지수의 뺄셈으로 정리한다.
3. 중첩된 근호는 지수를 곱해서 정리한다.
4. 마지막에 밑이 같으면 지수를 비교한다.
특히 이 문제는
\[
\sqrt{\phantom{x}},\quad \sqrt[4]{\phantom{x}}
\]
가 연달아 있어서 지수가 \(\frac12\), \(\frac14\)처럼 줄어드는 구조입니다.
이런 구조를 볼 때마다 “루트는 지수로 바꾸자”라는 습관을 가지시면 훨씬 빨리 풀 수 있습니다.
결국 복잡한 근호 문제도 지수법칙 하나로 통일해서 보면 훨씬 간단해집니다.
다음 식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. \(\;(\text{단, }a>0,\;a\ne 1)\)
풀이
왼쪽부터 정리하면
\[
\sqrt[4]{a^2}=a^{\frac12}
\]
이므로 루트 안은
\[
a\cdot a^{\frac12}=a^{\frac32}
\]
입니다.
따라서 왼쪽은
\[
\sqrt{a^{\frac32}}=a^{\frac34}
\]
입니다.
오른쪽은
\[
\sqrt[3]{\frac{a^n}{a^2}}=\sqrt[3]{a^{n-2}}=a^{\frac{n-2}{3}}
\]
입니다.
그러므로
\[
a^{\frac34}=a^{\frac{n-2}{3}}
\]
에서
\[
\frac34=\frac{n-2}{3}
\]
입니다.
양변에 12를 곱하면
\[
9=4(n-2)
\]
이 되어 자연수가 나오지 않습니다.
따라서 이 문제는 자연수 해가 없도록 만든 경우입니다.
[정답] : 자연수 해 없음
다음 식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. \(\;(\text{단, }a>0,\;a\ne 1)\)
풀이
왼쪽은
\[
a\cdot \sqrt{a}=a\cdot a^{\frac12}=a^{\frac32}
\]
이므로
\[
\sqrt{a^{\frac32}}=a^{\frac34}
\]
입니다.
오른쪽은
\[
\sqrt{\frac{a^n}{a^3}}=\sqrt{a^{n-3}}=a^{\frac{n-3}{2}}
\]
입니다.
따라서
\[
a^{\frac34}=a^{\frac{n-3}{2}}
\]
이고, 지수를 비교하면
\[
\frac34=\frac{n-3}{2}
\]
입니다.
양변에 4를 곱하면
\[
3=2(n-3)
\]
이므로 자연수 해가 없습니다.
[정답] : 자연수 해 없음
다음 식을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. \(\;(\text{단, }a>0,\;a\ne 1)\)
풀이
왼쪽에서
\[
\sqrt[4]{a}=a^{\frac14}
\]
이므로 루트 안은
\[
a\cdot a^{\frac14}=a^{\frac54}
\]
입니다.
따라서 왼쪽은
\[
\sqrt{a^{\frac54}}=a^{\frac58}
\]
입니다.
오른쪽은
\[
\sqrt[4]{\frac{a^n}{a}}=\sqrt[4]{a^{n-1}}=a^{\frac{n-1}{4}}
\]
입니다.
그러므로
\[
a^{\frac58}=a^{\frac{n-1}{4}}
\]
에서
\[
\frac58=\frac{n-1}{4}
\]
입니다.
양변에 8을 곱하면
\[
5=2(n-1)
\]
이 되어 자연수 해가 없습니다.
[정답] : 자연수 해 없음
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