삼각함수 단원에서 동경의 위치 관계를 묻는 문제는 단순 계산보다
각의 방향과 일반각의 뜻을 정확히 이해하고 있는지가 더 중요합니다.
특히 “서로 원점에 대하여 대칭”이라는 말이 나오면,
두 동경이 정확히 반대 방향이라는 뜻이므로
각의 차가 \(\pi\)만큼 난다는 점을 바로 떠올려야 합니다.
이번 문제도 이 핵심 개념만 정확히 잡으면 어렵지 않게 풀 수 있습니다.

좌표평면에서 \(x\)축의 양의 부분을 시초선으로 하는
각 \(\theta\)의 동경과 각 \(7\theta\)의 동경이 서로 원점에 대하여 대칭일 때,
각 \(\theta\)의 크기는?
\[
\left(\text{단, }0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)
\]

“각 \(\theta\)의 동경”과 “각 \(7\theta\)의 동경”이 원점 대칭이라는 것은,
두 동경이 같은 직선 위에 있으면서 방향만 반대라는 뜻입니다.
따라서 두 각의 차는
\[
\pi,\;3\pi,\;5\pi,\dots
\]
처럼 홀수배의 \(\pi\)가 됩니다.
이 조건을 식으로 세우고, 마지막에
\[
0<\theta<\frac{\pi}{2}
\]
조건을 이용해 알맞은 값을 고르면 됩니다.

이 문제에서 가장 중요한 개념은 다음 두 가지입니다.

즉, 이 문제는 “반대 방향”이라는 말을
“두 각의 차가 홀수배의 \(\pi\)”로 바꾸는 것이 핵심입니다.

1. 원점 대칭이라는 조건을 식으로 바꿉니다.
2. \(\theta\)에 대한 방정식으로 정리합니다.
3. 일반해를 구합니다.
4. \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\) 조건에 맞는 값만 골라냅니다.

문제에서 각 \(\theta\)의 동경과 각 \(7\theta\)의 동경이
서로 원점에 대하여 대칭이라고 했습니다.

동경이 원점 대칭이라는 것은 두 동경이 서로 정반대 방향이라는 뜻입니다.
따라서 두 각의 차는
\[
\pi,\;3\pi,\;5\pi,\dots
\]
처럼 홀수배의 \(\pi\)가 됩니다.

이를 일반각으로 쓰면

즉,
\[
6\theta=(2n+1)\pi
\]
입니다.

방금 얻은 식
\[
6\theta=(2n+1)\pi
\]
에서 양변을 6으로 나누면

이것이 \(\theta\)의 일반해입니다.

이제
\[
0<\theta<\frac{\pi}{2}
\]
이므로
\[
\theta=\frac{(2n+1)\pi}{6}
\]
에서 이 범위에 들어가는 값만 골라야 합니다.

가장 작은 정수 \(n=0\)을 넣으면

이것은
\[
0<\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}
\]
를 만족합니다.

다음 값인 \(n=1\)이면
\[
\theta=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}
\]
이 되어 조건
\[
\theta<\frac{\pi}{2}
\]
를 만족하지 못합니다.

따라서 가능한 값은
\[
\theta=\frac{\pi}{6}
\]
하나뿐입니다.

따라서 정답은
\[
\boxed{\frac{\pi}{6}}
\]
이고, 보기에서는 ⑤입니다.

\[
\boxed{⑤\;\frac{\pi}{6}}
\]

• 원점 대칭을 “같은 방향”으로 착각하는 실수
  같은 방향이면 차가 \(2n\pi\)이지만, 원점 대칭은 정반대 방향이므로 차가
  \[
  (2n+1)\pi
  \]
  입니다.
• \(7\theta-\theta=\pi\)만 쓰고 일반각을 빼먹는 실수
  동경 문제에서는 반드시
  \[
  2n\pi
  \]
  를 포함한 일반각으로 써야 합니다.
• \(\theta=\frac{\pi}{2}\)를 조건에 넣는 실수
  문제는
  \[
  0<\theta<\frac{\pi}{2}
  \]
  이므로 \(\frac{\pi}{2}\)는 포함되지 않습니다.
• 동경의 위치를 말로만 이해하고 식으로 못 옮기는 실수
  “정반대 방향”이라는 말을 “각의 차가 홀수배의 \(\pi\)”로 바꾸는 연습이 중요합니다.

동경 문제에서 자주 나오는 관계는 크게 두 가지입니다.

이 문제는 두 번째 경우였습니다.
즉, 각 \(\theta\)의 동경과 각 \(7\theta\)의 동경이 반대 방향이므로
\[
7\theta-\theta=(2n+1)\pi
\]
를 세우는 것이 핵심이었습니다.

앞으로 비슷한 문제를 보면 먼저
같은 방향인지, 반대 방향인지
를 확인하고, 그다음에 일반각 식을 세우는 순서로 접근하시면 됩니다.

연습문제 1

좌표평면에서 \(x\)축의 양의 부분을 시초선으로 하는 각 \(\theta\)의 동경과 각 \(3\theta\)의 동경이 서로 원점에 대하여 대칭일 때,
\(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)에서 \(\theta\)의 값을 구하시오.

연습문제 2

좌표평면에서 \(x\)축의 양의 부분을 시초선으로 하는 각 \(\theta\)의 동경과 각 \(4\theta\)의 동경이 서로 원점에 대하여 대칭일 때,
\(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)에서 \(\theta\)의 값을 구하시오.

연습문제 3

좌표평면에서 \(x\)축의 양의 부분을 시초선으로 하는 각 \(\theta\)의 동경과 각 \(5\theta\)의 동경이 서로 원점에 대하여 대칭일 때,
\(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)에서 \(\theta\)의 값을 구하시오.

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