수학의 세계에 첫발을 내딛는 여러분을 환영합니다. 오늘 우리는 앞으로 배울 모든 수학적 개념의 ‘바탕’이 되는 아주 중요한 약속, 바로 ‘집합’에 대해 이야기해 볼 거예요. ‘집합’이라는 단어는 왠지 딱딱하게 들리지만, 사실은 아주 간단한 아이디어에서 출발합니다. ‘무언가를 담는 상자’를 떠올려보면 쉬워요.
하지만 수학의 세계는 아주 엄격해서, 아무 상자나 집합이라고 불러주지 않아요. 어떤 상자만이 ‘집합’이라는 특별한 자격을 얻게 되는지, 그 상자 안에 담긴 물건들은 뭐라고 부르는지, 지금부터 곰쌤수학 곰쌤과 함께 차근차근 알아봅시다!
1. ‘집합’이라는 이름의 특별한 상자
우리가 주변에서 ‘모임’이라고 부르는 것들은 아주 많죠. ‘우리 반 학생들의 모임’, ‘키가 큰 사람들의 모임’, ‘$10$보다 작은 짝수들의 모임’ 등등. 이 중에서 과연 어떤 것들을 수학에서는 ‘집합’이라고 인정해 줄까요? 정답은 ‘상자에 무엇을 담을지, 담지 말지 누구나 명확하게 알 수 있는 규칙’이 있느냐에 달려있습니다.
💡 집합의 자격 조건 (정의)
집합이란, 주어진 조건에 따라 그 대상을 분명하게 구별할 수 있는 것들의 모임입니다.
핵심은 ‘분명한 기준’입니다. ‘예쁘다’, ‘크다’, ‘재미있다’처럼 사람마다 생각이 달라질 수 있는 주관적인 기준은 집합의 규칙이 될 수 없어요. 오직 ‘짝수이다’, ‘$5$의 배수이다’, ‘대한민국의 수도이다’처럼 누가 봐도 “YES” 또는 “NO”를 망설임 없이 외칠 수 있는 객관적인 기준만이 집합의 자격 조건이 됩니다.
🏆 집합으로 인정! (O)
- ‘$12$의 양의 약수의 모임’: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$로 그 대상을 분명히 알 수 있습니다.
- 알파벳 모음의 모임: $\{a, e, i, o, u\}$로 기준이 명확합니다.
🚫 집합 자격 미달! (X)
- 인기 있는 가수의 모임: ‘인기’의 기준이 애매하여 사람마다 다른 가수를 떠올릴 수 있습니다.
- 아름다운 꽃들의 모임: ‘아름다움’은 지극히 주관적인 기준입니다.
2. 상자 속 구성원, ‘원소’와 비밀 암호
자, 이제 우리는 어떤 상자가 ‘집합’인지 구별할 수 있게 되었습니다. 그렇다면 그 집합이라는 상자 안에 들어있는 내용물, 즉 구성원 하나하나는 뭐라고 부를까요? 수학에서는 이들을 ‘원소(Element)’라고 부릅니다.
그리고 수학자들은 ‘어떤 원소가 어떤 집합에 들어있다’ 또는 ‘들어있지 않다’는 말을 긴 문장으로 쓰는 대신, 아주 간단한 암호 같은 기호를 사용하기로 약속했어요.
(1) 원소가 집합에 속할 때: 비밀 암호 $\in$
원소 $a$가 집합 $A$의 구성원일 때, 우리는 “$a$는 집합 $A$에 속한다”고 말합니다. 이것을 나타내는 암호가 바로 $\in$ 입니다. 마치 세 개의 갈퀴가 달린 삼지창처럼 생겼죠? 이 삼지창으로 원소를 콕 찍어서 집합이라는 상자 안에 쏙 넣는 모습을 상상해 보세요.
집합 $A = \{1, 2, 3\}$이 있을 때, $1$은 집합 $A$의 원소입니다. 이것을 기호로 나타내면,
1$\in$A
라고 쓰고, “$1$은 $A$의 원소이다” 또는 “$1$은 $A$에 속한다”라고 읽습니다.
(2) 원소가 집합에 속하지 않을 때: 비밀 암호 $\notin$
반대로 원소 $b$가 집합 $A$의 구성원이 아닐 때는 어떻게 할까요? 간단합니다. 속한다는 암호 $\in$ 위에 “아니야!”라는 의미로 빗금을 쫙 그어주면 됩니다.
위의 집합 $A = \{1, 2, 3\}$에서, $4$는 집합 $A$의 원소가 아닙니다. 이것을 기호로 나타내면,
4$\notin$A
라고 쓰고, “$4$는 $A$의 원소가 아니다” 또는 “$4$는 $A$에 속하지 않는다”라고 읽습니다.
🧠 두뇌 트레이닝! 난이도 있는 문제 도전
자, 이제 여러분이 집합과 원소의 개념을 얼마나 잘 이해했는지 확인해 볼 시간입니다. 조금 헷갈릴 수 있으니 정신 바짝 차리고 풀어보세요!
집합 $A = \{1, \text{토끼}, \{2, 3\}\}$ 가 주어졌을 때, 다음 설명이 맞으면 O, 틀리면 X를 선택하고 이유를 말해보세요.
- 토끼 $\in$ A
정답: O
이유: 집합 A라는 상자를 열어보면 그 안에 ‘토끼’가 그대로 들어있습니다. 따라서 토끼는 A의 원소가 맞습니다. - $2 \in A$
정답: X
이유: 집합 A 상자 안에는 숫자 $1$, ‘토끼’, 그리고 $\{2, 3\}$이라는 ‘작은 상자’가 들어있을 뿐, 숫자 $2$ 자체가 단독으로 들어있지는 않습니다. $2$는 $\{2, 3\}$이라는 작은 상자 안에 들어있는 원소이지, A의 원소는 아닙니다. - $\{2, 3\} \in A$
정답: O
이유: 집합 A의 구성원을 살펴보면, $\{2, 3\}$라는 ‘모양’ 그대로가 하나의 원소로 들어있습니다. 이처럼 집합 자체가 다른 집합의 원소가 될 수도 있답니다!
📝 오늘 수업 핵심 정리
- 집합은 ‘분명한 기준’을 가진 특별한 모임입니다.
- 원소는 그 집합을 이루는 구성원 하나하나를 말합니다.
- 원소가 집합에 속하면 $\in$ (삼지창으로 콕!), 속하지 않으면 $\notin$ (아니라고 쫙!) 기호를 사용합니다.
- 일반적으로 집합은 알파벳 대문자 ($A, B, C, \dots$), 원소는 소문자 ($a, b, c, \dots$)로 나타냅니다.
오늘 우리는 수학이라는 새로운 언어의 가장 기본적인 단어인 ‘집합’과 ‘원소’를 배웠습니다. 이 개념을 잘 기억해 둔다면 앞으로의 수학 여행이 훨씬 더 즐거워질 거예요. 수고 많으셨습니다!