2. 함수의 극한값 구하기 – 다항함수 그래프로 이해하는 핵심 원리 (기초 문제 풀이) -수2-2

수학 II의 세계에 첫발을 내디딘 학생 여러분! ‘극한’이라는 개념을 처음 만나면 낯설고 어렵게 느껴질 수 있습니다.

특히 교과서나 문제집에서 “함수의 그래프를 이용하여 다음 극한값을 구하시오”라는 문제를 보면, “그래프를 꼭 그려야 하나? 그냥 숫자를 대입하면 안 되나?” 하는 의문이 들곤 합니다.

결론부터 말하면, 여러분의 직관이 맞습니다. 많은 경우, 특히 오늘 다룰 함수들처럼 그래프가 끊어지지 않은 ‘연속함수’에서는 숫자를 대입한 것과 같은 결과가 나옵니다. 하지만 그 이면에는 아주 중요한 개념이 숨어있습니다.

상세한 설명을 통해, 왜 그래프를 이용하라는 것인지, 극한의 진정한 의미는 무엇인지 파헤치고, 이를 바탕으로 다양한 함수의 기초 극한값을 구하는 연습을 해보겠습니다.

🎯 극한의 본질: ‘대입’이 아니라 ‘다가가기’

함수의 극한에서 가장 중요한 개념은 ‘특정 값에 한없이 가까워진다’는 아이디어입니다. 기호 $\lim_{x \to a} f(x)$ 의 의미는 다음과 같습니다.

“$x$가 $a$는 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수값 $f(x)$는 과연 어떤 값에 가까워지는가?”

이것을 시각적으로 보여주는 가장 좋은 도구가 바로 그래프입니다. 그래프를 따라 $x$좌표가 $a$인 지점을 향해 왼쪽과 오른쪽에서 손가락으로 다가간다고 상상해 보세요. 이때 손가락이 최종적으로 도달하려는 y좌표의 목적지, 그것이 바로 극한값입니다.

✏️ 실력 다지기: 유사 문제로 극한값 구하기

이제 다양한 함수의 그래프를 머릿속으로 상상하며, 극한값을 구하는 연습을 해봅시다.

🔍 문제별 상세 풀이

✨ 최종 정리 및 마무리

오늘은 함수의 극한을 그래프를 통해 이해하고, 특히 연속함수의 극한값을 구하는 가장 기본적인 방법을 연습했습니다.

핵심은 간단합니다: 극한은 ‘y값의 목적지’를 찾는 과정이며, 그래프가 끊어져 있지 않은 연속함수에서는 그 목적지가 바로 그 지점의 함숫값과 같다는 것입니다.

물론 앞으로는 그래프가 끊어져 있거나(불연속), 구멍이 뚫려 있거나, 무한대로 뻗어 나가는 등 단순히 값을 대입할 수 없는 복잡한 극한들을 만나게 될 것입니다.

하지만 그때에도 오늘 배운 ‘그래프를 따라 목적지를 찾아간다’는 극한의 근본적인 의미는 절대 변하지 않습니다.

오늘의 기초를 튼튼히 다져, 더 어려운 극한 문제도 자신 있게 해결해 나가시길 바랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!

함수의 극한값 존재 조건: 좌극한과 우극한 완벽 정복

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