안녕하세요!
도형의 방정식을 정복하기 위한 여정을 시작한 학생 여러분! 오늘은 그 위대한 여정의 첫 번째 발걸음이자 가장 중요한 기초 공사인 **’두 점 사이의 거리’** 공식을 배워보겠습니다. 이 공식은 단순히 점과 점 사이의 길이를 재는 것을 넘어, 앞으로 배우게 될 원의 방정식, 포물선, 타원 등 모든 도형의 정의를 이해하는 데 반드시 필요한 핵심 도구입니다.
많은 학생이 이 공식을 그저 암기하고 넘어가지만, 오늘은 왜 그런 공식이 나왔는지, 특히 좌표평면 위의 거리 공식이 우리가 중학교 때 배운 피타고라스 정리와 어떻게 완벽하게 연결되는지 그 근본 원리를 상세하게 파헤쳐 보겠습니다. 이 글을 통해 여러분은 공식을 ‘암기’하는 수준을 넘어 ‘이해’하고 자유자재로 활용하게 될 것입니다.
🎯 1차원: 수직선 위의 두 점 사이의 거리
가장 기본적인 상황부터 시작해 봅시다. 좌우로만 움직이는 1차원 세계, 즉 수직선 위에 두 점이 놓여있을 때 거리는 어떻게 구할까요? 답은 매우 간단합니다: 두 좌표의 차이에 절댓값을 씌우면 됩니다.
⭐ 수직선 위의 거리 공식
수직선 위의 두 점 $P(x_1)$, $Q(x_2)$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.
수직선 위의 두 점 $P(x_1)$, $Q(x_2)$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.
$\overline{PQ} = |x_2 – x_1|$
왜 절댓값이 필요할까요? 거리는 항상 0 또는 양수여야 하기 때문입니다. $x_2$가 $x_1$보다 크다면 $x_2 – x_1$은 양수이지만, 반대의 경우 음수가 나오기 때문에 절댓값을 통해 항상 양수로 만들어주는 것입니다. $|x_2 – x_1|$과 $|x_1 – x_2|$는 결과가 같으므로 어느 쪽에서 빼든 상관없습니다.
대표문제 (1): 수직선 위의 두 점 $P(-3)$, $Q(4)$ 사이의 거리를 구하시오.
상세 풀이
공식에 따라 두 좌표의 차를 구하고 절댓값을 씌웁니다.
$$ \overline{PQ} = |4 – (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 $$
반대로 계산해도 결과는 같습니다.
$$ \overline{PQ} = |-3 – 4| = |-7| = 7 $$
수직선에서 -3부터 4까지는 총 7칸 떨어져 있다는 것을 직관적으로도 확인할 수 있습니다.
🎯 2차원: 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 (피타고라스의 등장!)
이제 2차원 세계인 좌표평면으로 넘어옵시다. 여기에 두 점이 있다면 거리를 어떻게 구할까요? 바로 이 지점에서 우리는 위대한 수학 도구, **피타고라스 정리**를 사용하게 됩니다.
⭐ 좌표평면 위의 거리 공식 유도 과정
좌표평면 위의 두 점 $C(x_1, y_1)$, $D(x_2, y_2)$가 있다고 상상해 보세요. 이 두 점을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그릴 수 있습니다.
좌표평면 위의 두 점 $C(x_1, y_1)$, $D(x_2, y_2)$가 있다고 상상해 보세요. 이 두 점을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그릴 수 있습니다.
- 밑변의 길이: 두 점의 x좌표의 차이와 같습니다. 즉, $|x_2 – x_1|$ 입니다.
- 높이의 길이: 두 점의 y좌표의 차이와 같습니다. 즉, $|y_2 – y_1|$ 입니다.
피타고라스 정리에 따르면 $(\text{빗변})^2 = (\text{밑변})^2 + (\text{높이})^2$ 입니다. 우리가 구하려는 거리 $\overline{CD}$가 바로 빗변의 길이입니다.
$$ (\overline{CD})^2 = (|x_2 – x_1|)^2 + (|y_2 – y_1|)^2 $$
어차피 제곱을 하면 음수도 양수가 되므로, 절댓값 기호는 생략할 수 있습니다.
$$ (\overline{CD})^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 $$
마지막으로 거리는 양수이므로 양변에 양의 제곱근을 취하면, 우리가 그토록 외웠던 공식이 탄생합니다.
$\overline{CD} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
결국, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 “x좌표 차이의 제곱과 y좌표 차이의 제곱을 더한 후 루트를 씌운 것”이며, 이는 피타고라스 정리 그 자체입니다.
대표문제 (2): 좌표평면 위의 두 점 $C(-1, 3)$, $D(5, -5)$ 사이의 거리를 구하시오.
상세 풀이
먼저 각 좌표를 명확히 합니다: $x_1 = -1, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = -5$.
이제 공식에 그대로 대입하여 계산합니다.
$$ \overline{CD} = \sqrt{(5 – (-1))^2 + (-5 – 3)^2} $$
괄호 안의 뺄셈을 먼저 계산합니다.
$$ \overline{CD} = \sqrt{(5+1)^2 + (-8)^2} $$
$$ \overline{CD} = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} $$
각 항을 제곱합니다.
$$ \overline{CD} = \sqrt{36 + 64} $$
두 값을 더합니다.
$$ \overline{CD} = \sqrt{100} $$
마지막으로 제곱근을 계산합니다.
$$ \overline{CD} = 10 $$
밑변의 길이가 6, 높이가 8인 직각삼각형의 빗변 길이가 10이라는 것을 피타고라스 수(3:4:5의 2배)를 통해 검산할 수도 있습니다.
최종 정답:
(1) 7 (2) 10
(1) 7 (2) 10
✨ 최종 정리 및 마무리
오늘은 모든 도형 이야기의 시작점인 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 그 원리부터 깊이 있게 탐구했습니다.
- 수직선 (1D) 거리: 두 좌표의 차이에 절댓값을 씌운다. $\rightarrow |x_2 – x_1|$
- 좌표평면 (2D) 거리: 피타고라스 정리의 화려한 변신! $\rightarrow \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
이 공식이 단순한 계산 도구가 아니라, 직각삼각형의 아름다운 원리를 담고 있다는 사실을 이해하셨다면 오늘의 공부는 대성공입니다. 앞으로 이 거리를 이용하여 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점을 찾고, 원을 정의하는 등 무궁무진한 도형의 세계를 탐험하게 될 것입니다. 오늘의 기초를 튼튼히 다져 앞으로의 여정에 자신감을 가지시길 바랍니다!
고1수학 두 점 사이의 거리 공식 완벽 정리 (수직선, 좌표평면)