함수의 극한 — 발산( \( \infty \), \( -\infty \) ) 개념 정리 + 그래프로 확인하기
핵심 요약 : \( x\to a \) (단, \( x\neq a \)) 또는 \( x\to \pm\infty \)일 때
\( f(x) \)가 끝없이 커지면 \( \infty \), 끝없이 작아지면 \( -\infty \)로 발산한다고 말한다.
여기서 \( \infty \)는 숫자가 아니라 “끝없이 증가/감소하는 상태”를 나타내는 기호이다.
\( f(x) \)가 끝없이 커지면 \( \infty \), 끝없이 작아지면 \( -\infty \)로 발산한다고 말한다.
여기서 \( \infty \)는 숫자가 아니라 “끝없이 증가/감소하는 상태”를 나타내는 기호이다.
수학은 그래프로 보면 훨씬 직관적이에요. 아래 각 예시·문제에는
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버튼을 달아 두었습니다. 누르면 지오지브라에서 곧바로 그래프를 띄워 변화 모습을 눈으로 확인할 수 있습니다.
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1) 양의 무한대( \( \infty \) )로의 발산
\( x\to a \)일 때 \( f(x) \)가 제한 없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 하며 다음과 같이 쓴다.
\[ \lim_{x\to a} f(x) = \infty \]
예시 1
\( f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^2} \)에서 \( x\to a \)
- \( (x-a)^2>0 \)이고 \( x\to a \)이면 \( (x-a)^2 \to 0^{+} \).
- 분모가 \( 0^{+} \)로 가면 \( \dfrac{1}{(x-a)^2}\to \infty \).
\[ \therefore\ \lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty \]
2) 음의 무한대( \( -\infty \) )로의 발산
\( x\to a \)일 때 \( f(x) \)가 음수 방향으로 절댓값이 끝없이 커지면 음의 무한대로 발산한다.
\[ \lim_{x\to a} f(x) = -\infty \]
예시 2
\( f(x)=-\dfrac{1}{(x-a)^2} \)에서 \( x\to a \)
\[ \therefore\ \lim_{x\to a}\left(-\frac{1}{(x-a)^2}\right)=-\infty \]
3) \( x\to\infty \), \( x\to-\infty \) 에서의 발산
\[
\lim_{x\to\infty}(x^2+3x)=\infty,\qquad
\lim_{x\to-\infty}(x^2+3x)=\infty
\]
\lim_{x\to\infty}(x^2+3x)=\infty,\qquad
\lim_{x\to-\infty}(x^2+3x)=\infty
\]
추가 예시
대표유형 문제
문제 1
다음 극한을 조사하라.
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} \]
- \( x\to0 \Rightarrow x^2\to0^{+} \).
- \( \dfrac{1}{x^2} \)는 끝없이 커지므로 \( \infty \)로 발산.
\[ \therefore\ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty. \]
문제 2
다음 극한을 조사하라.
\[ \lim_{x\to -\infty}\big(3x^3-x\big) \]
- 성장 비교: 최고차항 \( 3x^3 \)이 전체를 지배.
- \( x\to-\infty \Rightarrow 3x^3-x\to-\infty \).
\[ \therefore\ \lim_{x\to-\infty}\big(3x^3-x\big)=-\infty. \]
자주 하는 오개념
- \( \infty \)는 수가 아니다. 임의로 더하고 빼는 연산 대상이 아님.
- \( \dfrac{1}{0}=\infty \)가 아니다. “\( x\to0 \)일 때 \( \dfrac{1}{x} \)가 발산”일 뿐, \( \dfrac{1}{0} \)은 정의되지 않음.
- 다항식의 발산 판단은 최고차항을 보면 된다. 지수/로그는 정의역과 증가·감소 방향을 먼저 확인.