소인수분해 대표유형 문제 풀이 – 옳은 것만 있는 보기 고르기

소인수분해 문제는 숫자를 잘 나누는 것보다 끝까지 소수만 남겨서 써야 한다는 원칙을 정확히 아는지가 더 중요합니다.
시험에서는 일부러 거의 맞아 보이는 식을 섞어 놓고, 마지막에 합성수가 남아 있는데도 맞는 것처럼 보이게 만드는 경우가 많습니다.
이번 문제도 각 수를 실제로 소인수분해해 보면서, 어떤 식이 정확하고 어떤 식이 틀렸는지 하나씩 차근차근 확인해 보겠습니다.

대표유형 문제

다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>

ㄱ. \(36=2^2\times 3^2\)

ㄴ. \(70=2\times 5\times 7\)

ㄷ. \(90=2\times 3^2\times 5\)

ㄹ. \(48=2^3\times 6\)

ㅁ. \(120=2^3\times 3\times 5\)

① ㄱ, ㄴ, ㄷ

② ㄱ, ㄷ, ㄹ

③ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ

④ ㄴ, ㄹ, ㅁ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㅁ

문제 요약

이 문제의 핵심은 소인수분해의 뜻을 정확히 이해하는 것입니다.
소인수분해는 합성수를 소수들의 곱으로만 나타내는 것입니다.
따라서 계산 결과가 맞더라도 마지막에 \(6\) 같은 합성수가 남아 있으면 소인수분해라고 할 수 없습니다.

먼저 꼭 알아야 하는 핵심 개념

소인수분해란 어떤 자연수를 소수만을 이용한 곱으로 나타내는 것입니다.

예: \(12=2^2\times 3\)

예: \(18=2\times 3^2\)

예: \(20=2^2\times 5\)

여기서 가장 중요한 점은 다음입니다.

소인수분해의 마지막 결과에는 소수만 남아 있어야 합니다.

\(4, 6, 8, 9, 10\)처럼 합성수가 남아 있으면 완전한 소인수분해가 아닙니다.

따라서 문제를 풀 때는 계산이 맞는지만 보지 말고, 마지막에 남은 인수들이 모두 소수인지까지 꼭 확인해야 합니다.

풀이 전략

각 보기의 수를 직접 소인수분해해 봅니다.
계산 결과가 원래 수와 같은지 확인합니다.
마지막 인수들이 모두 소수인지 확인합니다.
옳은 보기만 모아 선택지와 비교합니다.

단계별 상세 풀이

Step 1. ㄱ 판단하기

ㄱ은
\[
36=2^2\times 3^2
\]
라고 되어 있습니다.

오른쪽을 계산하면
\[
2^2\times 3^2=4\times 9=36
\]
입니다.

또 \(2\)와 \(3\)은 모두 소수입니다.
따라서 이 식은 정확한 소인수분해입니다.

따라서 ㄱ은 옳습니다.

Step 2. ㄴ 판단하기

ㄴ은
\[
70=2\times 5\times 7
\]
이라고 되어 있습니다.

오른쪽을 계산하면
\[
2\times 5\times 7=10\times 7=70
\]
입니다.

그리고 \(2,5,7\)은 모두 소수입니다.
따라서 이 역시 올바른 소인수분해입니다.

따라서 ㄴ은 옳습니다.

Step 3. ㄷ 판단하기

ㄷ은
\[
90=2\times 3^2\times 5
\]
라고 되어 있습니다.

오른쪽을 계산하면
\[
2\times 3^2\times 5=2\times 9\times 5=18\times 5=90
\]
입니다.

또한 \(2,3,5\)는 모두 소수이므로 완전한 소인수분해가 맞습니다.

따라서 ㄷ은 옳습니다.

Step 4. ㄹ 판단하기

ㄹ은
\[
48=2^3\times 6
\]
이라고 되어 있습니다.

먼저 계산만 보면
\[
2^3\times 6=8\times 6=48
\]
이므로 값은 맞습니다.

그런데 소인수분해는 값만 맞으면 되는 것이 아니라 마지막에 모두 소수여야 합니다.
여기서 \(6\)은 소수가 아니라
\[
6=2\times 3
\]
인 합성수입니다.

따라서 \(48\)을 끝까지 소인수분해하면
\[
48=2^4\times 3
\]
이 되어야 합니다.

따라서 ㄹ은 옳지 않습니다.

Step 5. ㅁ 판단하기

ㅁ은
\[
120=2^3\times 3\times 5
\]
라고 되어 있습니다.

계산하면
\[
2^3\times 3\times 5=8\times 3\times 5=24\times 5=120
\]
입니다.

그리고 \(2,3,5\)는 모두 소수이므로 정확한 소인수분해입니다.

따라서 ㅁ은 옳습니다.

Step 6. 옳은 보기만 정리하기

지금까지 확인한 결과를 정리하면

ㄱ : 옳다
ㄴ : 옳다
ㄷ : 옳다
ㄹ : 옳지 않다
ㅁ : 옳다

따라서 옳은 것은
\[
\boxed{\text{ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ}}
\]
입니다.

보기에서 이에 해당하는 것은 ③입니다.

최종 정답

\[
\boxed{③}
\]

옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ입니다.

자주 하는 실수

값만 맞으면 소인수분해도 맞다고 생각하는 실수
예를 들어 \(48=2^3\times 6\)은 값은 맞지만, \(6\)이 합성수라서 소인수분해는 아닙니다.
소수인지 아닌지 끝까지 확인하지 않는 실수
마지막에 남은 인수가 \(2,3,5,7,\dots\) 같은 소수인지 반드시 확인해야 합니다.
지수 계산을 틀리는 실수
\(2^3=8,\;3^2=9\) 같은 기본 거듭제곱 계산을 정확히 해야 합니다.
소인수분해와 인수분해를 같은 뜻으로 생각하는 실수
소인수분해는 특히 “소수로만” 나타내는 것이라는 점이 중요합니다.

개념 정리

소인수분해 문제를 풀 때는 다음 순서로 확인하면 됩니다.

1. 주어진 수가 실제로 맞는 곱인지 계산한다.

2. 마지막 인수들이 모두 소수인지 확인한다.

3. 합성수가 남아 있으면 더 쪼갠다.

4. 소수만 남았을 때 비로소 소인수분해가 완성된다.

예를 들어
\[
48=2^3\times 6
\]
에서 멈추면 아직 끝난 것이 아닙니다.
왜냐하면 \(6\)이 소수가 아니기 때문입니다.
여기서 한 번 더 쪼개어
\[
6=2\times 3
\]
로 바꾸면
\[
48=2^4\times 3
\]
이 되고, 이때가 진짜 소인수분해입니다.

따라서 시험에서는 계산이 맞는지만 보지 말고, 마지막 형태까지 꼭 확인하는 습관이 중요합니다.

대표유형 연습문제 3개 (교사용 정답 표시)

연습문제 1

다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(18=2\times 3^2\)

ㄴ. \(24=2^3\times 3\)

ㄷ. \(30=2\times 15\)

풀이

ㄱ:
\[
2\times 3^2=2\times 9=18
\]
이고, \(2,3\)은 소수이므로 맞습니다.

ㄴ:
\[
2^3\times 3=8\times 3=24
\]
이고, \(2,3\)은 소수이므로 맞습니다.

ㄷ:
\[
2\times 15=30
\]
는 값은 맞지만, \(15\)가 소수가 아니므로 소인수분해는 아닙니다.

검산
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.

[정답] : ㄱ, ㄴ

연습문제 2

다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(50=2\times 5^2\)

ㄴ. \(72=2^3\times 9\)

ㄷ. \(98=2\times 7^2\)

풀이

ㄱ:
\[
2\times 5^2=2\times 25=50
\]
이고, \(2,5\)는 소수라서 맞습니다.

ㄴ:
\[
2^3\times 9=8\times 9=72
\]
는 값은 맞지만, \(9\)가 소수가 아니므로 소인수분해는 아닙니다.

ㄷ:
\[
2\times 7^2=2\times 49=98
\]
이고, \(2,7\)은 소수이므로 맞습니다.

검산
옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.

[정답] : ㄱ, ㄷ

연습문제 3

다음 보기 중 소인수분해를 올바르게 한 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. \(64=2^6\)

ㄴ. \(84=2^2\times 3\times 7\)

ㄷ. \(96=2^4\times 6\)

풀이

ㄱ:
\[
2^6=64
\]
이고 \(2\)는 소수이므로 맞습니다.

ㄴ:
\[
2^2\times 3\times 7=4\times 3\times 7=84
\]
이고 \(2,3,7\)은 모두 소수이므로 맞습니다.

ㄷ:
\[
2^4\times 6=16\times 6=96
\]
는 값은 맞지만, \(6\)이 합성수이므로 소인수분해는 아닙니다.

검산
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.

[정답] : ㄱ, ㄴ