거듭제곱은 초등 수학에서 처음 배우지만, 시험에서는 아주 쉬운 듯 보이면서도 실수가 자주 나오는 단원입니다.
특히 반복된 곱셈을 보고 밑이 무엇인지, 몇 번 곱했는지를 정확히 세어야 합니다.
이번 문제는 계산 자체는 간단하지만, 거듭제곱의 기본 뜻을 정확히 이해했는지 확인하는 대표 유형입니다.
왜 밑과 지수를 그렇게 잡는지까지 차근차근 설명해 보겠습니다.

\[
4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4
\]
을 거듭제곱으로 나타낼 때, 거듭제곱의 밑과 지수를 각각 \(a,\;b\)라 하자.
이때
\[
a+b
\]
의 값은?

이 문제는 같은 수를 여러 번 곱한 식을 거듭제곱으로 바꾸는 문제입니다.
핵심은 반복해서 곱해지는 수가 밑, 그 수가 나온 횟수가 지수라는 점입니다.
따라서 먼저 밑 \(a\)와 지수 \(b\)를 찾고, 마지막에 \(a+b\)를 계산하면 됩니다.

거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단하게 나타낸 것입니다.

즉, 어떤 수를 반복해서 곱하느냐가 밑이고,
몇 번 곱했느냐가 지수입니다.

1. 반복되는 수를 찾습니다.
2. 그 수가 몇 번 곱해졌는지 셉니다.
3. 거듭제곱으로 나타내어 \(a,\;b\)를 찾습니다.
4. 마지막에 \(a+b\)를 계산합니다.

주어진 식은
\[
4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4
\]
입니다.

여기에서 계속 반복해서 곱해지는 수는 모두 \(4\)입니다.
따라서 거듭제곱의 밑은 \(4\)입니다.

이제 \(4\)가 몇 번 곱해졌는지 세어 보겠습니다.

\(4\)가 모두 \(6\)번 나왔습니다.
따라서 거듭제곱의 지수는 \(6\)입니다.

따라서 주어진 식은 거듭제곱으로

으로 나타낼 수 있습니다.
여기서 다시 확인하면 밑은 \(4\), 지수는 \(6\)입니다.

앞에서 구한 값은
\[
a=4,\qquad b=6
\]
입니다.

따라서
\[
a+b=4+6
\]
이고,

입니다.
보기에서는 ③입니다.

\[
\boxed{③}
\]

즉,
\[
\boxed{a+b=10}
\]
입니다.

• 밑과 지수를 거꾸로 쓰는 실수
  반복해서 곱해지는 수가 밑이고, 나온 횟수가 지수입니다.
• 곱해진 횟수를 하나 적게 세거나 하나 더 세는 실수
  이런 문제는 직접 손가락으로 짚으면서 세는 것이 안전합니다.
• \(4^6\)을 \(6^4\)로 잘못 쓰는 실수
  밑과 지수의 위치는 절대 바꾸면 안 됩니다.
• \(a\)와 \(b\)를 찾고도 마지막 \(a+b\)를 계산하지 않는 실수
  문제에서 무엇을 물었는지 끝까지 확인해야 합니다.

거듭제곱은 같은 수를 반복해서 곱한 것을 간단하게 나타낸 것입니다.
따라서 이런 문제는 다음 순서로 생각하면 됩니다.

이 단원은 계산이 어렵지 않지만, 밑과 지수의 뜻을 정확히 이해하는 것이 매우 중요합니다.
기초이지만 이후 지수법칙, 로그, 식의 계산까지 모두 연결되는 중요한 개념입니다.

연습문제 1

\[
3\times 3\times 3\times 3\times 3
\]
을 거듭제곱으로 나타낼 때, 밑과 지수를 각각 \(a,\;b\)라 하자.
이때 \(a+b\)의 값을 구하시오.

연습문제 2

\[
6\times 6\times 6\times 6
\]
을 거듭제곱으로 나타낼 때, 밑과 지수를 각각 \(a,\;b\)라 하자.
이때 \(a+b\)의 값을 구하시오.

연습문제 3

\[
9\times 9\times 9\times 9\times 9\times 9\times 9
\]
을 거듭제곱으로 나타낼 때, 밑과 지수를 각각 \(a,\;b\)라 하자.
이때 \(a+b\)의 값을 구하시오.

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