중1 수학 순서쌍 문제 풀이 | 두 주사위 눈의 합으로 순서쌍 구하기
중1 수학 순서쌍 문제 풀이에서는 두 수를 단순히 고르는 것이 아니라,
앞에 오는 수와 뒤에 오는 수의 순서를 구분하는 것이 핵심입니다.
특히 두 주사위 \(A\), \(B\)를 던져 나온 눈의 수를 \((A의 눈,\ B의 눈)\)으로 나타낼 때는
\((2,6)\)과 \((6,2)\)를 서로 다른 경우로 보아야 합니다.
이번 글에서는 두 주사위의 눈의 합이 주어진 조건을 만족하는 순서쌍을 모두 찾는 방법을
단계별로 정리하겠습니다. 순서쌍의 뜻이 아직 헷갈린다면 먼저
중1 수학 순서쌍 개념 정리를
먼저 확인하고 오면 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
대표유형 문제
서로 다른 두 주사위 \(A\), \(B\)를 던졌을 때 나온 눈의 수를
\[
(A의 눈의 수,\ B의 눈의 수)
\]
로 나타내기로 하자.
두 눈의 수의 합이 \(8\)이 되는 순서쌍을 모두 구하시오.
풀이 전 핵심 개념
순서쌍은 두 수를 순서가 있게 짝지어 나타낸 것입니다.
보통 \((a,b)\)처럼 나타내며, 앞에 있는 수와 뒤에 있는 수의 위치를 구분합니다.
예를 들어 \((2,6)\)은 첫 번째 값이 \(2\), 두 번째 값이 \(6\)이라는 뜻입니다.
반면 \((6,2)\)는 첫 번째 값이 \(6\), 두 번째 값이 \(2\)라는 뜻입니다.
따라서 \((2,6)\)과 \((6,2)\)는 서로 다른 순서쌍입니다.
이 차이는 앞으로
좌표평면에서 점의 위치를 나타낼 때도
매우 중요하게 사용됩니다.
\((2,6)\): \(A\)의 눈이 \(2\), \(B\)의 눈이 \(6\)
\((6,2)\): \(A\)의 눈이 \(6\), \(B\)의 눈이 \(2\)
그러므로 두 주사위 \(A\), \(B\)를 구분하는 문제에서는 수의 조합만 보는 것이 아니라,
어느 주사위에서 나온 수인지까지 확인해야 합니다.
곰쌤 지도 포인트
이 문제를 설명할 때는 학생들에게 다음 세 가지를 꼭 확인시켜 주세요.
- 순서쌍은 순서가 중요하다는 점
\((2,6)\)과 \((6,2)\)는 서로 다른 순서쌍입니다. - 주사위 눈의 수는 \(1\)부터 \(6\)까지만 가능하다는 점
합이 맞아도 \(0\), \(7\), \(8\) 같은 수가 들어가면 주사위 눈의 수가 될 수 없습니다. - 첫 번째 수를 기준으로 차례대로 찾는 습관
\(A\)의 눈을 \(1,2,3,\ldots,6\)으로 차례대로 놓고 가능한 \(B\)의 눈을 찾으면 빠뜨리지 않습니다.
단계별 상세 풀이
Step 1. 순서쌍의 형태를 확인합니다
문제에서는 두 주사위 \(A\), \(B\)의 눈을 다음과 같은 순서쌍으로 나타냅니다.
\[
(A의 눈의 수,\ B의 눈의 수)
\]
따라서 순서쌍의 첫 번째 수는 주사위 \(A\)의 눈이고,
두 번째 수는 주사위 \(B\)의 눈입니다.
Step 2. 두 눈의 합이 \(8\)이라는 조건을 식으로 나타냅니다
순서쌍을 \((a,b)\)라고 하면 \(a\)는 주사위 \(A\)의 눈, \(b\)는 주사위 \(B\)의 눈입니다.
두 눈의 수의 합이 \(8\)이므로 다음 조건을 만족해야 합니다.
\[
a+b=8
\]
또한 \(a\)와 \(b\)는 주사위 눈의 수이므로 각각 \(1,2,3,4,5,6\) 중 하나여야 합니다.
Step 3. \(A\)의 눈을 차례대로 놓고 \(B\)의 눈을 찾습니다
빠뜨리지 않기 위해 \(A\)의 눈을 \(1\)부터 \(6\)까지 차례대로 확인하겠습니다.
\(A=1\)이면 \(B=7\)이어야 합니다. 하지만 주사위 눈은 \(7\)이 될 수 없으므로 제외합니다.
\(A=2\)이면 \(B=6\)입니다. 따라서 \((2,6)\)이 가능합니다.
\(A=3\)이면 \(B=5\)입니다. 따라서 \((3,5)\)가 가능합니다.
\(A=4\)이면 \(B=4\)입니다. 따라서 \((4,4)\)가 가능합니다.
\(A=5\)이면 \(B=3\)입니다. 따라서 \((5,3)\)이 가능합니다.
\(A=6\)이면 \(B=2\)입니다. 따라서 \((6,2)\)가 가능합니다.
\(A=1\)일 때만 \(B=7\)이 되어 주사위 눈의 범위를 벗어나므로 제외합니다.
Step 4. 가능한 순서쌍을 모두 정리합니다
위에서 찾은 가능한 순서쌍은 다음과 같습니다.
\[
(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2)
\]
이들은 모두 두 수의 합이 \(8\)이고, 각 수가 \(1\)부터 \(6\) 사이이므로 주사위 눈의 수로 가능합니다.
Step 5. 서로 다른 순서쌍인지 확인합니다
여기서 \((2,6)\)과 \((6,2)\)를 같은 것으로 보면 안 됩니다.
\((2,6)\)은 \(A\)가 \(2\), \(B\)가 \(6\)인 경우입니다.
반면 \((6,2)\)는 \(A\)가 \(6\), \(B\)가 \(2\)인 경우입니다.
따라서 둘은 서로 다른 순서쌍입니다.
마찬가지로 \((3,5)\)와 \((5,3)\)도 서로 다른 순서쌍입니다.
\[
\boxed{(2,6),\ (3,5),\ (4,4),\ (5,3),\ (6,2)}
\]
따라서 가능한 순서쌍은 모두 \(5\)개입니다.
다른 풀이 ― 표로 정리하기
순서쌍 문제는 표로 정리하면 빠뜨리지 않고 찾기 좋습니다.
| \(A\)의 눈 | 필요한 \(B\)의 눈 | 가능 여부 | 순서쌍 |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 불가능 | 없음 |
| 2 | 6 | 가능 | \((2,6)\) |
| 3 | 5 | 가능 | \((3,5)\) |
| 4 | 4 | 가능 | \((4,4)\) |
| 5 | 3 | 가능 | \((5,3)\) |
| 6 | 2 | 가능 | \((6,2)\) |
표를 보면 가능한 경우가 한눈에 정리됩니다.
따라서 가능한 순서쌍은 \(5\)개입니다.
자주 하는 실수
- \((2,6)\)과 \((6,2)\)를 같은 것으로 생각하는 실수
순서쌍은 순서가 중요하므로 두 경우는 서로 다릅니다. - 주사위 눈의 범위를 확인하지 않는 실수
주사위 눈은 \(1\)부터 \(6\)까지만 가능합니다. \(0\), \(7\), \(8\)은 주사위 눈이 될 수 없습니다. - 가능한 경우를 중간부터 세다가 빠뜨리는 실수
\(A=1\)부터 \(A=6\)까지 차례대로 확인해야 빠뜨리지 않습니다. - 순서쌍이 아니라 조합처럼 생각하는 실수
이 문제는 두 수를 그냥 고르는 문제가 아니라 \((A의 눈,\ B의 눈)\)처럼 순서가 있는 결과를 찾는 문제입니다.
틀렸다면 다시 풀어볼 복습 문제
복습 문제 1
두 주사위 \(A\), \(B\)를 던져 나온 눈의 수를 \((A의 눈,\ B의 눈)\)으로 나타낸다.
두 눈의 합이 \(7\)이 되는 순서쌍을 모두 구하시오.
정답과 풀이 보기
순서쌍을 \((a,b)\)라고 하면 \(a+b=7\)이어야 합니다.
또한 \(a,b\)는 각각 \(1\)부터 \(6\)까지의 자연수입니다.
\(A=1\)이면 \(B=6\)이므로 \((1,6)\)
\(A=2\)이면 \(B=5\)이므로 \((2,5)\)
\(A=3\)이면 \(B=4\)이므로 \((3,4)\)
\(A=4\)이면 \(B=3\)이므로 \((4,3)\)
\(A=5\)이면 \(B=2\)이므로 \((5,2)\)
\(A=6\)이면 \(B=1\)이므로 \((6,1)\)
따라서 가능한 순서쌍은
\[
(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)
\]
정답: \(\boxed{(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)}\)
복습 문제 2
두 주사위 \(A\), \(B\)를 던져 나온 눈의 수를 \((A의 눈,\ B의 눈)\)으로 나타낸다.
두 눈의 합이 \(10\)이 되는 순서쌍을 모두 구하시오.
정답과 풀이 보기
순서쌍을 \((a,b)\)라고 하면 \(a+b=10\)이어야 합니다.
두 수는 모두 주사위 눈이므로 \(1\)부터 \(6\) 사이여야 합니다.
\(A=1\)이면 \(B=9\)입니다. \(9\)는 주사위 눈이 아니므로 불가능합니다.
\(A=2\)이면 \(B=8\)입니다. \(8\)은 주사위 눈이 아니므로 불가능합니다.
\(A=3\)이면 \(B=7\)입니다. \(7\)은 주사위 눈이 아니므로 불가능합니다.
\(A=4\)이면 \(B=6\)이므로 \((4,6)\)이 가능합니다.
\(A=5\)이면 \(B=5\)이므로 \((5,5)\)가 가능합니다.
\(A=6\)이면 \(B=4\)이므로 \((6,4)\)가 가능합니다.
따라서 가능한 순서쌍은
\[
(4,6),\ (5,5),\ (6,4)
\]
정답: \(\boxed{(4,6),\ (5,5),\ (6,4)}\)
자주 묻는 질문
Q1. \((2,6)\)과 \((6,2)\)는 왜 다른가요?
순서쌍에서는 앞자리와 뒷자리가 구분됩니다.
\((2,6)\)은 \(A\)가 \(2\), \(B\)가 \(6\)인 경우이고,
\((6,2)\)는 \(A\)가 \(6\), \(B\)가 \(2\)인 경우입니다.
Q2. 왜 \(A=1\)일 때 \((1,7)\)은 답이 아닌가요?
두 수의 합은 \(8\)이지만 주사위 눈은 \(1\)부터 \(6\)까지만 나올 수 있습니다.
\(7\)은 주사위 눈이 아니므로 \((1,7)\)은 순서쌍에서 제외합니다.
Q3. 순서쌍을 빠뜨리지 않고 찾으려면 어떻게 해야 하나요?
첫 번째 수를 \(1\)부터 \(6\)까지 차례대로 놓고, 합이 되도록 두 번째 수를 찾으면 됩니다.
이렇게 하면 가능한 경우를 빠뜨리지 않고 정리할 수 있습니다.
1. 순서쌍은 순서를 구분하여 나타낸 짝입니다.
2. \((a,b)\)와 \((b,a)\)는 \(a\ne b\)일 때 서로 다른 순서쌍입니다.
3. 주사위 눈의 수는 \(1\)부터 \(6\)까지만 가능합니다.
4. 첫 번째 수를 차례대로 놓고 두 번째 수를 찾으면 빠뜨리지 않습니다.
5. 두 주사위 \(A\), \(B\)를 구분하는 문제에서는 순서가 중요합니다.
아래 영상에서 순서쌍의 뜻과 두 주사위 눈의 합으로 가능한 순서쌍을 찾는 방법을 다시 확인해 보세요.
이 문제를 맞혔다면 다음에는 좌표평면에서 순서쌍 읽기로 넘어가 보세요.
틀렸다면 \((a,b)\)와 \((b,a)\)가 왜 다른지 다시 확인해 주세요.
대표유형 문제풀이와 개념 정리는 곰쌤수학 홈페이지를 참고해 주세요.
https://gomsu.co.kr/
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