미적분의 가장 기초가 되는 개념 중 하나가 바로 ‘수열의 극한’입니다.
어떤 수열이 끝없이 나아갈 때 어디로 향하는지 알아보는 것인데요, 오늘은 수열의 수렴과 발산이 무엇인지 개념을 확실히 잡고, 대표 문제를 통해 수렴하는 수열을 판정하는 방법을 속 시원하게 알려드리겠습니다.
🎯 수열의 극한, 핵심 개념부터!
수열의 극한을 판정하기 전에, ‘수렴’과 ‘발산’이라는 용어의 뜻을 정확히 알아야 합니다.
수열 $\{a_n\}$에서 항의 번호 $n$이 한없이 커질 때, 일반항 $a_n$의 값이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워지면, 이 수열은 $L$에 수렴한다고 합니다. 기호로는 다음과 같이 나타냅니다.
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$
수열이 수렴하지 않는 모든 경우를 발산한다고 합니다. 발산에는 세 가지 종류가 있습니다.
- 양의 무한대로 발산: $a_n$의 값이 한없이 커지는 경우 ($ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty $)
- 음의 무한대로 발산: $a_n$의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지는 경우 ($ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty $)
- 진동: 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 경우 (예: 1, -1, 1, -1, … 처럼 값이 여러 개로 튀는 경우)
✏️ 실력 다지기: 대표 문제 풀이
이제 아래 대표 문제를 통해 어떤 수열이 수렴하는지 직접 판정해 봅시다.
보기
ㄱ. $-1, -2, -4, -8, -16, \dots, -2^{n-1}, \dots$
ㄴ. $-2, 1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, -\frac{2}{5}, \dots, \frac{(-1)^n \times 2}{n}, \dots$
ㄷ. $1, 1, 1, 1, 1, \dots, 1, \dots$
ㄹ. $\{(-1)^n\}$
ㅁ. $\{3 – \frac{(-1)^n}{n}\}$
🔍 보기별 수렴/발산 판정
ㄱ. 수열 $\{-2^{n-1}\}$
일반항 $a_n = -2^{n-1}$ 입니다. $n$이 $1, 2, 3, 4, \dots$ 로 한없이 커질 때, $a_n$의 값은 $-1, -2, -4, -8, \dots$ 와 같이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커집니다.
$$ \lim_{n \to \infty} (-2^{n-1}) = -\infty $$
ㄴ. 수열 $\{\frac{(-1)^n \times 2}{n}\}$
일반항 $a_n = \frac{(-1)^n \times 2}{n}$ 입니다. $n$이 한없이 커지면 분모 $n$은 무한히 커집니다. 분자 $(-1)^n \times 2$는 $-2, 2, -2, 2, \dots$ 로 진동하지만, 그 크기는 2를 넘지 않습니다. ‘무한대로 커지는 분모’와 ‘일정한 범위에서 진동하는 분자’의 조합이므로, 전체 값은 0에 가까워집니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n \times 2}{n} = 0 $$
ㄷ. 수열 $\{1\}$
일반항 $a_n = 1$ 입니다. 이 수열은 모든 항이 1인 상수수열입니다. $n$이 아무리 커져도 항의 값은 항상 1입니다.
$$ \lim_{n \to \infty} 1 = 1 $$
ㄹ. 수열 $\{(-1)^n\}$
일반항 $a_n = (-1)^n$ 입니다. 수열의 항을 나열해 보면 $-1, 1, -1, 1, -1, \dots$ 입니다. $n$이 한없이 커져도 항의 값은 -1과 1 사이를 계속 왕복할 뿐, 하나의 값에 가까워지지 않습니다. 이것이 대표적인 ‘진동’ 발산입니다.
ㅁ. 수열 $\{3 – \frac{(-1)^n}{n}\}$
일반항 $a_n = 3 – \frac{(-1)^n}{n}$ 입니다. 극한의 성질에 따라 각 부분의 극한을 따로 생각할 수 있습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \left(3 – \frac{(-1)^n}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} 3 – \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} $$
여기서 $\lim_{n \to \infty} 3 = 3$ 이고, 보기 (ㄴ)과 비슷한 원리로 $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$ 입니다.
$$ 3 – 0 = 3 $$
✨ 최종 정리
각 보기의 수렴/발산 여부를 정리하면 다음과 같습니다.
- ㄱ: 발산 ($-\infty$)
- ㄴ: 수렴 (0)
- ㄷ: 수렴 (1)
- ㄹ: 발산 (진동)
- ㅁ: 수렴 (3)
따라서 문제에서 요구한 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ, ㅁ 입니다.
수열의 극한을 판정하는 것은 결국 $n$을 무한대로 보냈을 때 일반항이 어떻게 변하는지 관찰하는 것입니다.
오늘 풀어본 문제처럼 다양한 형태의 수열을 접하며 극한에 대한 감각을 키우는 것이 중요합니다. 꾸준한 연습으로 극한 개념을 완벽하게 정복하시길 바랍니다!
