함수의 극한값의 존재를 이해하려면 먼저 \(x\)가 어떤 값 \(a\)에 가까워진다는 말의 의미를 알아야 합니다.
\(x=a\)가 되는 순간을 보는 것이 아니라, \(x\)가 \(a\)에 점점 가까워질 때 함수값 \(f(x)\)가 어디로 가까워지는지를 보는 것입니다.
예를 들어 어떤 길을 따라 목표 지점 \(a\)로 다가간다고 생각해 봅시다.
왼쪽에서 \(a\)로 다가갈 수도 있고, 오른쪽에서 \(a\)로 다가갈 수도 있습니다.
함수의 극한에서는 이 두 방향을 모두 확인해야 합니다.
그래서 함수의 극한값이 존재하려면
좌극한과 우극한이 모두 존재해야 하고,
그 두 값이 서로 같아야 합니다.
이 조건이 만족될 때만
\[
\lim_{x\to a}f(x)
\]
가 존재한다고 말할 수 있습니다.
이 내용은 앞으로 함수의 연속, 그래프 해석, 구간별 함수의 극한을 공부할 때 계속 사용됩니다.
함수의 극한 기초가 아직 낯설다면
곰쌤수학 함수의 극한 기초 개념
자료와 함께 보면 좋습니다.
핵심 개념
함수 \(f(x)\)에서 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 극한값을 조사할 때는
\(x\)가 \(a\)보다 작은 쪽에서 가까워지는 경우와
\(x\)가 \(a\)보다 큰 쪽에서 가까워지는 경우를 따로 살펴보아야 합니다.
\[
\lim_{x\to a-}f(x),\qquad \lim_{x\to a+}f(x)
\]
두 값이 모두 존재하고 서로 같을 때,
함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극한값을 가진다고 말합니다.
좌극한과 우극한
\(x\)가 \(a\)에 가까워지는 방법은 한 가지가 아닙니다.
수직선 위에서 \(a\)를 기준으로 생각하면, 왼쪽에서 다가갈 수도 있고 오른쪽에서 다가갈 수도 있습니다.
좌극한:
\[
\lim_{x\to a-}f(x)
\]
\(x\)가 \(a\)보다 작은 값들에서 \(a\)에 가까워질 때의 함수값의 변화입니다.
우극한:
\[
\lim_{x\to a+}f(x)
\]
\(x\)가 \(a\)보다 큰 값들에서 \(a\)에 가까워질 때의 함수값의 변화입니다.
극한값은 한쪽에서만 보면 안 됩니다.
왼쪽과 오른쪽에서 다가갈 때 함수값이 같은 곳으로 가까워지는지 반드시 비교해야 합니다.
극한값이 존재하는 경우
함수 \(f(x)\)에서 \(x\to a\)일 때의 극한값이 존재하려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
1. 좌극한 \(\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)\)이 존재한다.
2. 우극한 \(\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)\)이 존재한다.
3. 좌극한과 우극한의 값이 서로 같다.
이 세 조건이 모두 만족되면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[
\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L
\]
이때 함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 극한값은 \(L\)입니다.
\[
\lim_{x\to a}f(x)=L
\]
극한값이 존재하지 않는 경우
다음과 같은 경우에는 함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 극한값이 존재하지 않습니다.
경우 1. 좌극한 또는 우극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는 경우
경우 2. 좌극한과 우극한은 각각 존재하지만 두 값이 서로 다른 경우
특히 두 번째 경우가 시험에서 자주 등장합니다.
왼쪽에서 가까워지는 값과 오른쪽에서 가까워지는 값이 다르면,
함수값이 한 값으로 정해져 가까워진다고 말할 수 없기 때문입니다.
\[
\lim_{x\to a-}f(x)\ne\lim_{x\to a+}f(x)
\]
이 경우에는
\[
\lim_{x\to a}f(x)
\]
가 존재하지 않습니다.
구간별 함수 예시
구간별로 정의된 함수는 경계가 되는 점에서 좌극한과 우극한을 따로 확인해야 합니다.
예를 들어 다음 함수를 생각해 봅시다.
\[
f(x)=
\begin{cases}
x+1 & (x<2)\\
5-x & (x\ge2)
\end{cases}
\]
\(x\to2-\)일 때는 \(x<2\)인 구간의 식 \(x+1\)을 사용합니다.
\[
\lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}(x+1)=3
\]
\(x\to2+\)일 때는 \(x\ge2\)인 구간의 식 \(5-x\)를 사용합니다.
\[
\lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(5-x)=3
\]
좌극한과 우극한이 모두 \(3\)으로 같으므로
\[
\lim_{x\to2}f(x)=3
\]
입니다. 따라서 이 함수는 \(x=2\)에서 극한값이 존재합니다.
그래프로 이해하기
아래 그림은 \(x=a\)에서 좌극한과 우극한이 같은 경우를 단순화한 모습입니다.
왼쪽에서 가까워져도 \(L\), 오른쪽에서 가까워져도 \(L\)에 가까워지면 극한값은 존재합니다.
a
L
x
y
왼쪽에서 가까워짐
오른쪽에서 가까워짐
핵심은 \(x=a\)에서의 실제 점이 아니라, \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 함수값이 어디로 향하는가입니다.
그래프에서 구멍이 뚫려 있더라도 양쪽에서 같은 높이로 가까워지면 극한값은 존재할 수 있습니다.
곰쌤 지도 포인트
이 개념을 설명할 때는 학생들에게 다음 세 가지를 꼭 강조해 주세요.
- 극한은 \(x=a\)에서의 함수값을 바로 보는 개념이 아닙니다.
\(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 주변 흐름을 보는 개념입니다. - 왼쪽과 오른쪽을 반드시 나누어 확인해야 합니다.
좌극한과 우극한이 서로 같아야 전체 극한값이 존재합니다. - 구간별 함수에서는 경계점의 식 선택이 중요합니다.
\(x\to a-\)일 때는 \(a\)보다 작은 쪽의 식을, \(x\to a+\)일 때는 \(a\)보다 큰 쪽의 식을 사용합니다. - 함수값과 극한값을 구분해야 합니다.
\(f(a)\)가 정의되어 있지 않아도 \(\lim_{x\to a}f(x)\)는 존재할 수 있습니다.
자주 하는 실수
- 좌극한만 보고 극한값이 존재한다고 판단하는 실수
좌극한과 우극한을 모두 확인해야 합니다. - 좌극한과 우극한이 다른데도 극한값을 쓴다는 실수
두 값이 다르면 전체 극한값은 존재하지 않습니다. - \(f(a)\)와 \(\lim_{x\to a}f(x)\)를 같은 것으로 생각하는 실수
함수값은 \(x=a\)에서의 실제 값이고, 극한값은 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 경향입니다. - 구간별 함수에서 식을 잘못 선택하는 실수
좌극한은 왼쪽 구간의 식, 우극한은 오른쪽 구간의 식을 사용해야 합니다. - 그래프의 뚫린 점만 보고 극한값이 없다고 판단하는 실수
점이 뚫려 있어도 양쪽에서 같은 값으로 가까워지면 극한값은 존재할 수 있습니다.
개념 확인 문제
확인 문제 1
\[
\lim_{x\to 3-}f(x)=5,\qquad \lim_{x\to 3+}f(x)=5
\]
일 때, \(\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)\)는 존재하는가?
정답과 풀이 보기
좌극한과 우극한이 모두 존재하고 두 값이 \(5\)로 같습니다.
따라서
\[
\lim_{x\to3}f(x)=5
\]
정답: \(\boxed{\text{존재한다. 극한값은 }5}\)
확인 문제 2
\[
\lim_{x\to 1-}g(x)=2,\qquad \lim_{x\to 1+}g(x)=7
\]
일 때, \(\displaystyle \lim_{x\to1}g(x)\)는 존재하는가?
정답과 풀이 보기
좌극한은 \(2\), 우극한은 \(7\)입니다.
두 값이 서로 다릅니다.
함수의 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
그런데 이 문제에서는
\[
2\ne7
\]
이므로 전체 극한값은 존재하지 않습니다.
정답: \(\boxed{\text{존재하지 않는다.}}\)
1. 함수의 극한은 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 함수값의 경향을 보는 개념입니다.
2. 왼쪽에서 가까워질 때의 극한을 좌극한이라고 합니다.
3. 오른쪽에서 가까워질 때의 극한을 우극한이라고 합니다.
4. 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같으면 전체 극한값이 존재합니다.
5. 좌극한과 우극한이 다르면 전체 극한값은 존재하지 않습니다.
6. \(f(a)\)와 \(\lim_{x\to a}f(x)\)는 같은 개념이 아닙니다.
자주 묻는 질문
Q1. 좌극한과 우극한이 모두 존재하면 극한값도 무조건 존재하나요?
아닙니다. 두 값이 모두 존재하더라도 서로 다르면 전체 극한값은 존재하지 않습니다.
두 값이 같아야 합니다.
Q2. \(f(a)\)가 없어도 극한값은 존재할 수 있나요?
네. 가능합니다.
극한값은 \(x=a\)에서의 실제 함수값이 아니라 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 함수값의 경향을 보는 개념입니다.
Q3. 그래프에서 점이 뚫려 있으면 극한값은 없는 건가요?
꼭 그렇지는 않습니다.
뚫린 점이 있어도 왼쪽과 오른쪽에서 같은 높이로 가까워지면 극한값은 존재합니다.
Q4. 구간별 함수에서 왜 좌우를 나누어 보나요?
경계점의 왼쪽과 오른쪽에서 적용되는 식이 다를 수 있기 때문입니다.
그래서 구간별 함수에서는 좌극한과 우극한을 따로 계산해야 합니다.
아래 영상에서 좌극한과 우극한의 뜻, 그리고 함수의 극한값이 존재하기 위한 조건을 다시 확인해 보세요.
이 개념을 이해했다면 다음에는 구간별 함수의 극한값 구하기 문제로 넘어가면 좋습니다.
아직 헷갈린다면 좌극한과 우극한이 같아야 한다는 조건을 먼저 다시 확인해 주세요.
함수의 극한 대표 개념과 문제풀이는 곰쌤수학 홈페이지에서 확인할 수 있습니다.
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