거듭제곱근 실수 개수 함수 문제 풀이

대표유형 문제

실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)으로 나타낼 때,

\[
f(12,8)+f(8,11)-f(-12,8)+f(-8,11)
\]

의 값을 구하시오.

문제 요약

이 문제는 실제로 복잡한 계산을 하는 문제가 아니라,
어떤 수의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것이 몇 개인지를 빠르게 판단하는 문제입니다.
핵심은 딱 두 가지입니다.
\(a\)가 양수인지 음수인지,
그리고 \(n\)이 짝수인지 홀수인지를 구분하는 것입니다.

먼저 꼭 알아야 하는 핵심 개념

\(a\)의 \(n\)제곱근이란

\[
x^n=a
\]

를 만족하는 수 \(x\)를 말합니다.

이때 실수 개수는 다음처럼 정리할 수 있습니다.

1. \(a>0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 2개

2. \(a>0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개

3. \(a<0\), \(n\)이 짝수이면 실수인 \(n\)제곱근은 0개

4. \(a<0\), \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개

이 문제는 바로 이 표를 정확히 적용할 수 있는지 묻는 문제입니다.

풀이 전략

각 \(f(a,n)\)를 하나씩 따로 계산합니다.
\(a\)가 양수인지 음수인지 확인합니다.
\(n\)이 짝수인지 홀수인지 확인합니다.
실수인 거듭제곱근의 개수를 써 줍니다.
마지막에 식에 대입하여 계산합니다.

단계별 상세 풀이

Step 1. \(f(12,8)\) 구하기

\(f(12,8)\)는 \(12\)의 \(8\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.

여기서 \(12\)는 양수이고, \(8\)은 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 항상 2개가 나옵니다.

왜냐하면
\[
x^8=12
\]
을 만족하는 실수는 하나의 양수값과 그 음수값이 함께 나오기 때문입니다.
짝수 번 거듭제곱하면 부호가 사라지므로 \(+\)와 \(-\)가 둘 다 가능합니다.

\[
f(12,8)=2
\]

Step 2. \(f(8,11)\) 구하기

\(f(8,11)\)은 \(8\)의 \(11\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.

여기서 \(8\)은 양수이고, \(11\)은 홀수입니다.
양수의 홀수 제곱근은 실수에서 항상 1개입니다.

이유는 홀수 번 거듭제곱은 부호를 그대로 유지하기 때문입니다.
따라서
\[
x^{11}=8
\]
을 만족하는 실수는 정확히 하나만 존재합니다.

\[
f(8,11)=1
\]

Step 3. \(f(-12,8)\) 구하기

\(f(-12,8)\)은 \(-12\)의 \(8\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.

여기서 \(-12\)는 음수이고, \(8\)은 짝수입니다.
음수의 짝수 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않습니다.

왜냐하면 어떤 실수 \(x\)에 대해서도
\[
x^8 \ge 0
\]
이기 때문입니다.
그런데
\[
x^8=-12
\]
는 왼쪽은 절대로 음수가 될 수 없고, 오른쪽은 음수이므로 실수에서는 불가능합니다.

\[
f(-12,8)=0
\]

Step 4. \(f(-8,11)\) 구하기

\(f(-8,11)\)은 \(-8\)의 \(11\)제곱근 중에서 실수인 것의 개수입니다.

여기서 \(-8\)은 음수이고, \(11\)은 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 항상 1개가 존재합니다.

홀수 번 거듭제곱은 음수를 그대로 음수로 만들 수 있기 때문입니다.
예를 들어
\[
(-2)^3=-8
\]
처럼 홀수 제곱에서는 음수값이 충분히 나올 수 있습니다.
따라서
\[
x^{11}=-8
\]
도 실수해를 정확히 하나 가집니다.

\[
f(-8,11)=1
\]

Step 5. 전체 식 계산하기

이제 구한 값을 원래 식에 대입합니다.

\[
f(12,8)+f(8,11)-f(-12,8)+f(-8,11)
\]
\[
=2+1-0+1
\]
\[
=4
\]

따라서 구하는 값은 \(4\)입니다.

최종 정답

\[
\boxed{4}
\]

자주 하는 실수

양수면 무조건 2개라고 생각하는 실수
양수라도 \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개입니다.
음수면 무조건 실수근이 없다고 생각하는 실수
음수라도 \(n\)이 홀수이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개 존재합니다.
짝수/홀수 판단을 하지 않고 바로 값만 외우는 실수
이 문제는 숫자 크기보다 부호와 지수의 짝홀성이 더 중요합니다.
\(-f(-12,8)\)를 계산할 때 부호를 잘못 처리하는 실수
\(f(-12,8)=0\)이므로 \(-f(-12,8)=-0=0\)입니다.

개념 정리

거듭제곱근의 실수 개수 문제는 아래 표처럼 기억하면 가장 편합니다.

\(a>0\), \(n\) 짝수 → 2개

\(a>0\), \(n\) 홀수 → 1개

\(a<0\), \(n\) 짝수 → 0개

\(a<0\), \(n\) 홀수 → 1개

결국 이 문제는 복잡한 식처럼 보여도,
각 항을 하나씩 표에 맞춰서 판단하면 됩니다.

시험장에서 가장 빠른 방법은
“양수/음수 먼저, 짝수/홀수 나중”
순서로 보는 것입니다.
이 순서만 익숙해지면 비슷한 문제를 아주 빠르게 풀 수 있습니다.

대표유형 연습문제 3개 (교사용 정답 표시)

연습문제 1

실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.

\[
f(7,6)+f(-7,5)-f(-7,6)
\]

풀이

먼저 \(f(7,6)\)을 봅니다.
\(7\)은 양수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 \(6\)제곱근은 2개입니다.
따라서
\[
f(7,6)=2
\]
입니다.

다음으로 \(f(-7,5)\)를 봅니다.
\(-7\)은 음수이고 \(5\)는 홀수이므로 실수인 \(5\)제곱근은 1개입니다.
따라서
\[
f(-7,5)=1
\]
입니다.

마지막으로 \(f(-7,6)\)을 봅니다.
\(-7\)은 음수이고 \(6\)은 짝수이므로 실수인 \(6\)제곱근은 없습니다.
따라서
\[
f(-7,6)=0
\]
입니다.

이제 식에 대입하면
\[
f(7,6)+f(-7,5)-f(-7,6)=2+1-0=3
\]
입니다.

[정답] : \(3\)

연습문제 2

실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.

\[
f(15,4)+f(15,9)+f(-15,9)
\]

풀이

\(f(15,4)\)에서 \(15\)는 양수, \(4\)는 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 2개이므로
\[
f(15,4)=2
\]
입니다.

\(f(15,9)\)에서 \(15\)는 양수, \(9\)는 홀수입니다.
양수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(15,9)=1
\]
입니다.

\(f(-15,9)\)에서 \(-15\)는 음수, \(9\)는 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(-15,9)=1
\]
입니다.

따라서 전체 식은
\[
2+1+1=4
\]
입니다.

[정답] : \(4\)

연습문제 3

실수 \(a\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(a,n)\)이라 하자.
다음 값을 구하시오.

\[
2f(-4,7)+f(4,10)-f(-4,10)
\]

풀이

먼저 \(f(-4,7)\)을 구합니다.
\(-4\)는 음수이고 \(7\)은 홀수입니다.
음수의 홀수 제곱근은 실수에서 1개이므로
\[
f(-4,7)=1
\]
입니다.

다음 \(f(4,10)\)을 구합니다.
\(4\)는 양수이고 \(10\)은 짝수입니다.
양수의 짝수 제곱근은 실수에서 2개이므로
\[
f(4,10)=2
\]
입니다.

다음 \(f(-4,10)\)을 구합니다.
\(-4\)는 음수이고 \(10\)은 짝수입니다.
음수의 짝수 제곱근은 실수에서 0개이므로
\[
f(-4,10)=0
\]
입니다.

이제 식에 대입하면
\[
2f(-4,7)+f(4,10)-f(-4,10)=2\cdot 1+2-0
\]
\[
=2+2=4
\]
입니다.

[정답] : \(4\)